Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.46) (3 x^{2} y-x^{2}) d x+d y=0
(5.46) (3 x^{2} y-x^{2}) d x+d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial
com
e pede para determinar um fator integrante apropriado. Ou seja, queremos achar uma função
(dependendo possivelmente só de
ou só de
) tal que a forma
seja exata.
Passo 2
Verificamos se a equação já é exata: lembrando que uma forma
é exata se
. Calculamos as derivadas parciais:
Como
(isto é,
em geral), a equação não é exata.
Passo 3
Procura-se um fator integrante que dependa só de
, ou só de
. Uma condição prática: se
é função apenas de
, então existe um fator integrante
dado por
. Vou explicar por que isso funciona: suponha
. A condição de exatidão de
é
Como
depende só de
, isso vira
Dividindo por
(assumindo
) obtemos
O lado esquerdo depende só de
, então o lado direito deve também depender só de
. Integrando
dá
, daí
.
Passo 4
Aplicamos essa condição ao nosso caso. Já temos
e
, e
. Então
que é de fato função apenas de
. Portanto podemos tomar
Passo 5
Calculamos a integral
. Usando a regra de potência,
Podemos escolher a constante de integração
porque fatores constantes multiplicativos em
não alteram a exatidão essencialmente. Assim
Passo 6
Comentário final e verificação rápida: multiplicando a equação original por
obtemos
Verificando exatidão:
portanto agora a forma é exata, como desejado. (Se quiser, com essa
dá para integrar e obter a solução implícita
.)