Determine um fator integrante apropriado para cada equação:
(5.46) (3 x^{2} y-x^{2}) d x+d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com
M(x,y)=3x^{2}y-x^{2},\qquad N(x,y)=1,
e pede para determinar um fator integrante apropriado. Ou seja, queremos achar uma função \mu (dependendo possivelmente só de x ou só de y) tal que a forma \mu M\,dx+\mu N\,dy seja exata.

Passo 2

Verificamos se a equação já é exata: lembrando que uma forma M\,dx+N\,dy é exata se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=3x^{2},\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=0.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x} (isto é, 3x^{2}\neq0 em geral), a equação não é exata.

Passo 3

Procura-se um fator integrante que dependa só de x, ou só de y. Uma condição prática: se
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
é função apenas de x, então existe um fator integrante \mu(x) dado por \mu(x)=\exp\!\big(\int \text{essa função}\,dx\big)çã. Vou explicar por que isso funciona: suponha \mu=\mu(x). A condição de exatidão de \mu M\,dx+\mu N\,dy é
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N).
Como \mu depende só de x, isso vira
\mu\frac{\partial M}{\partial y}=\mu'\,N+\mu\frac{\partial N}{\partial x}.
Dividindo por \mu N (assumindo N\neq0) obtemos
\frac{\mu'}{\mu}=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}.
O lado esquerdo depende só de x, então o lado direito deve também depender só de x. Integrando \mu'/\mu \ln\mu, daí \mu(x)=\exp\!\big(\int (\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N})\,dx\big).

Passo 4

Aplicamos essa condição ao nosso caso. Já temos \partial M/\partial y=3x^{2} e \partial N/\partial x=0, e N=1. Então
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=\frac{3x^{2}-0}{1}=3x^{2},
que é de fato função apenas de x. Portanto podemos tomar
\mu(x)=\exp\!\left(\int 3x^{2}\,dx\right).

Passo 5

Calculamos a integral \int 3x^{2}\,dx. Usando a regra de potência,
\int 3x^{2}\,dx=x^{3}+C.
Podemos escolher a constante de integração C=0 porque fatores constantes multiplicativos em \mu não alteram a exatidão essencialmente. Assim
\mu(x)=e^{x^{3}}.

Passo 6

Comentário final e verificação rápida: multiplicando a equação original por \mu(x)=e^{x^{3}} obtemos
(3x^{2}y-x^{2})e^{x^{3}}\,dx+e^{x^{3}}\,dy=0.
Verificando exatidão:
\frac{\partial}{\partial y}\big((3x^{2}y-x^{2})e^{x^{3}}\big)=3x^{2}e^{x^{3}},
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x^{3}}\big)=3x^{2}e^{x^{3}},
portanto agora a forma é exata, como desejado. (Se quiser, com essa \mu dá para integrar e obter a solução implícita \;e^{x^{3}}(y-\tfrac{1}{3})=C.)

Resposta

\mu(x)=e^{x^{3}}

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