Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva-a.
\left(x^{2}+y+y^{2}\right) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(x^{2}+y+y^{2})\,dx \;-\;x\,dy \;=\;0
Definimos
M(x,y)=x^{2}+y+y^{2},\quad N(x,y)=-x.
Como
M_{y}=1+2y\neq N_{x}=-1,
a equação não é exata. Vamos procurar um fator integrante \mu(x,y) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy=0 seja exata.

Passo 2

Testes para \mu=\mu(x) ou \mu=\mu(y) falham. Observando a forma de M e N, tentamos
\mu(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Multiplicando a equação por \mu, obtemos
M_{1}(x,y)=\frac{x^{2}+y+y^{2}}{x^{2}+y^{2}},\qquad N_{1}(x,y)=-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Calculamos
\frac{\partial M_{1}}{\partial y} =\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \qquad \frac{\partial N_{1}}{\partial x} =\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
logo \partial M_{1}/\partial y=\partial N_{1}/\partial x, a equação tornou-se exata.

Passo 4

Procuramos \Psi(x,y) tal que
\Psi_{x}=M_{1} =\frac{x^{2}+y+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Integramos em x, tratando y como constante:
\Psi(x,y) =\int\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dx +\int\frac{y+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dx +h(y).
Usamos
\int\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dx =\int\Bigl(1-\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\Bigr)dx =x-y\,\arctan\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr),
\int\frac{y+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,dx =(y+y^{2})\frac{1}{y}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) =(1+y)\,\arctan\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr).
Somando,
\Psi(x,y) =x -y\,\arctan\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) +(1+y)\,\arctan\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr) +h(y) =x +\arctan\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)+h(y).

Passo 5

Agora impomos \Psi_{y}=N_{1}:
\Psi_{y} =-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+h'(y) \stackrel{!}{=} -\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \;\Longrightarrow\; h'(y)=0 \;\Longrightarrow\; h(y)=C.

Resposta

Fator integrante
\mu(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}.
Solução implícita
x+\arctan\!\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)=C.

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