Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva-a.
\left(y+x^{3} y^{3}\right) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO
(y + x^3 y^3)\,dx + x\,dy = 0
e pede um fator integrante que torne a forma diferencial exata. Definimos
M(x,y)=y + x^3 y^3 \quad\text{e}\quad N(x,y)=x
e vamos buscar \mu(x,y)=x^a y^b tal que \mu M\,dx + \mu N\,dy seja exata.

Passo 2

A condição de exatidão é
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\mu M\bigr) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\mu N\bigr).
Como \mu=x^a y^b, calculamos
\mu M = x^a y^b\,(y + x^3y^3) = x^a y^{b+1} + x^{a+3}y^{b+3},
\mu N = x^a y^b \,x = x^{a+1}y^b.
Logo
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M) =(b+1)x^a y^b + (b+3)x^{a+3}y^{b+2},
\frac{\partial}{\partial x}(\mu N) =(a+1)x^a y^b.
Para serem iguais para todo (x,y) precisamos
b+3=0 \quad\text{e}\quad (b+1)=(a+1),
daí b=-3 e a=-3. Portanto
\boxed{\mu(x,y)=x^{-3}y^{-3}}.

Passo 3

Multiplicando a EDO por \mu obtemos
\bigl(1 + x^{-3}y^{-2}\bigr)\,dx + x^{-2}y^{-3}\,dy = 0.
Chamemos
M^*(x,y)=1 + x^{-3}y^{-2}, \quad N^*(x,y)=x^{-2}y^{-3}.
Por construção essa forma é exata.

Passo 4

Procuramos \psi(x,y) tal que \partial_x\psi=M^*. Integrando em x:
\psi(x,y) =\int\bigl(1 + x^{-3}y^{-2}\bigr)\,dx = x - \frac{1}{2\,x^2\,y^2} + h(y).
Para encontrar h(y) usamos \partial_y\psi=N^*:
\partial_y\psi =\frac{1}{x^2y^3} + h'(y) \stackrel!= \frac{1}{x^2y^3} \;\Longrightarrow\; h'(y)=0,
logo h é constante.

Passo 5

A solução geral vem da condição \psi(x,y)=C, isto é
\boxed{ x \;-\;\frac{1}{2\,x^2\,y^2} = C, }
que representa implicitamente as curvas solução da EDO original.

Resposta

O fator integrante é \mu(x,y)=x^{-3}y^{-3} e a solução geral implícita é
x - \frac{1}{2\,x^2\,y^2} = C.

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