Resolva o problema de valor inicial
\frac{d y}{d x}=\frac{y^{2}-2 x y}{x^{2}}, y(1)=2

  1. { }^{1} Mossoró-RN 02/06/2025.
    { }^{2} Sug.: Faça u=\ln p, e transforme a equação diferencial de Bernoulli generalizada numa equação diferencial linear de primeira ordem em u.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2} - 2xy}{x^{2}}, \quad y(1)=2.
Este é uma equação diferencial de primeira ordem homogênea (os termos de y e x têm mesmo grau). Para resolver, vamos usar a substituição
v = \frac{y}{x},
o que transforma em uma equação separável em v e x.

Passo 2

Com y = vx temos
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{(vx)^{2} - 2x(vx)}{x^{2}} = v^{2} - 2v.
Logo
x\frac{dv}{dx} = v^{2} - 3v.

Passo 3

Reescrevendo como separável:
\frac{dv}{dx} = \frac{v(v - 3)}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{v(v - 3)}\,dv = \frac{1}{x}\,dx.
Fazendo frações parciais em \tfrac{1}{v(v-3)}:
\frac{1}{v(v-3)} = -\tfrac{1}{3}\,\frac{1}{v} + \tfrac{1}{3}\,\frac{1}{v-3}.
Integramos ambos os lados:
\int\!\Bigl(-\tfrac{1}{3v}+\tfrac{1}{3(v-3)}\Bigr)\,dv = \int\!\frac{1}{x}\,dx \;\Longrightarrow\; \tfrac{1}{3}\ln\Bigl|\frac{v-3}{v}\Bigr| = \ln|x| + C.

Passo 4

Isolando a constante:
\ln\Bigl|\frac{v-3}{v}\Bigr| = 3\ln|x| + C' \quad\Longrightarrow\quad \frac{v-3}{v} = K\,x^{3},
onde K=e^{C'}. Daí
1 - \frac{3}{v} = Kx^{3} \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{3}{1 - Kx^{3}}.

Passo 5

Voltando a y:
\frac{y}{x} = \frac{3}{1 - Kx^{3}} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{3x}{1 - Kx^{3}}.
Usando y(1)=2
2 = \frac{3}{1 - K} \;\Longrightarrow\; 1 - K = \tfrac{3}{2} \;\Longrightarrow\; K = -\tfrac12.
Substituindo em y:
y(x) = \frac{3x}{1 + \tfrac12\,x^{3}} = \frac{6x}{x^{3} + 2}.

Resposta

y(x) = \frac{6x}{x^{3} + 2}.

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