Encontre uma solução contínua satisfazendo cada equação diferencial e a condição inicial dada.
y^prime+2 x y=f(x) ; f(x)=lllx & se 0 <= x<1 0 & se x >= 1 ; y(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma solução contínua que satisfaça a equação diferencial y' + 2xy = f(x) com a condição inicial y(0) = 2 . Estamos lidando com uma equação diferencial linear e vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver. Além disso, a função f(x) é definida de maneira diferente para x < 1 e x >= 1 , então vamos resolver em duas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação para 0 <= x < 1 , onde f(x) = x . A equação fica:
y' + 2xy = x
Esse é um tipo de equação linear da forma y' + P(x)y = Q(x) , onde P(x) = 2x e Q(x) = x . Para resolver, encontramos o fator integrante mu(x) :
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral 2x dx = e^x^2
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^x^2 y' + 2x e^x^2 y = x e^x^2
Isso simplifica para:
ddx ( e^x^2 y ) = x e^x^2
Agora, integramos ambos os lados:
e^x^2 y = integral x e^x^2 dx + C
Para resolver a integral integral x e^x^2 dx , fazemos uma substituição u = x^2 , então du = 2x dx , ou seja, du2 = x dx . A integral fica:
integral x e^x^2 dx = 12 e^x^2 + C
Então, temos:
e^x^2 y = 12 e^x^2 + C
Dividindo ambos os lados por e^x^2 :
y = 12 + C e^-x^2

Passo 3

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = 2 para encontrar o valor de C :
2 = 12 + C e^0
2 = 12 + C
C = 2 - 12
C = 32
Então, a solução para 0 <= x < 1 é:
y = 12 + 32 e^-x^2

Passo 4

Agora, vamos resolver para x >= 1 , onde f(x) = 0 . A equação fica:
y' + 2xy = 0
Essa é uma equação homogênea. Usamos novamente o fator integrante mu(x) = e^x^2 . Multiplicando a equação:
e^x^2 y' + 2x e^x^2 y = 0
Isso simplifica para:
ddx ( e^x^2 y ) = 0
Integrando ambos os lados:
e^x^2 y = C
Então:
y = C e^-x^2
Para encontrar C , usamos a continuidade da solução em x = 1 . Calculamos y(1) na solução anterior:
y(1) = 12 + 32 e^-1
Então, na segunda parte, C = y(1) e^1 :
C = ( 12 + 32 e^-1 ) e^1 = 12 e + 32
Portanto, a solução para x >= 1 é:
y = ( 12 e + 32 ) e^-x^2

Resposta

A solução contínua que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial é:
y(x) = 12 + 32 e^-x^2 & para 0 <= x < 1 ( 12 e + 32 ) e^-x^2 & para x >= 1

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