Encontre uma solução contínua satisfazendo cada equação diferencial e a condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma solução contínua que satisfaça a equação diferencial y' + 2xy = f(x) com a condição inicial y(0) = 2 . Estamos lidando com uma equação diferencial linear e vamos precisar usar o método do fator integrante para resolver. Além disso, a função f(x) é definida de maneira diferente para x < 1 e x >= 1 , então vamos resolver em duas partes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação para 0 <= x < 1 , onde f(x) = x . A equação fica:
y' + 2xy = x
Esse é um tipo de equação linear da forma y' + P(x)y = Q(x) , onde P(x) = 2x e Q(x) = x . Para resolver, encontramos o fator integrante mu(x) :