Determine um fator integrante e resolva as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a gente ache um fator integrante para torná-la exata e, em seguida, resolva-a. O conteúdo principal aqui são equações diferenciais de primeira ordem e o uso de fatores integrantes que dependem só de
ou só de
.
Passo 2
Identificamos as funções
de modo que a equação possa ser escrita como
Passo 3
Verificamos se a equação já é exata calculando
Como
, não é exata, então precisamos de um fator integrante.
Passo 4
Testamos se existe um fator integrante
que dependa só de
. Para isso, usamos a condição
que depende apenas de
. Portanto existe
tal que
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora definimos
e checamos a exatidão:
logo é exata.
Passo 6
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando em relação a
:
Agora impondo
vemos que
, o que dá
. Portanto
A solução geral implícita é
com
constante.