Determine um fator integrante e resolva as equações diferenciais dadas.
\mathbf{6} \boldsymbol{x} \boldsymbol{y} \boldsymbol{d} \boldsymbol{x}+\left(\mathbf{4} \boldsymbol{y}+\mathbf{9} \boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}\right) \boldsymbol{d} \boldsymbol{y}=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
6\,x\,y\,dx + \bigl(4\,y + 9\,x^2\bigr)\,dy = 0
e pede que a gente ache um fator integrante para torná-la exata e, em seguida, resolva-a. O conteúdo principal aqui são equações diferenciais de primeira ordem e o uso de fatores integrantes que dependem só de x ou só de y.

Passo 2

Identificamos as funções
M(x,y) = 6\,x\,y, \quad N(x,y) = 4\,y + 9\,x^2
de modo que a equação possa ser escrita como
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.

Passo 3

Verificamos se a equação já é exata calculando
\frac{\partial M}{\partial y} = 6\,x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 18\,x.
Como 6\,x \neq 18\,x, não é exata, então precisamos de um fator integrante.

Passo 4

Testamos se existe um fator integrante \mu que dependa só de y. Para isso, usamos a condição
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M} = \frac{18\,x - 6\,x}{6\,x\,y} = \frac{12\,x}{6\,x\,y} = \frac{2}{y},
que depende apenas de y. Portanto existe \mu(y) tal que
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)} = \frac{2}{y} \;\implies\; \mu(y) = y^2.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=y^2, obtendo
6\,x\,y^3\,dx + \bigl(4\,y^3 +9\,x^2\,y^2\bigr)\,dy = 0.
Agora definimos
\widetilde M(x,y) = 6\,x\,y^3, \quad \widetilde N(x,y) = 4\,y^3 + 9\,x^2\,y^2
e checamos a exatidão:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = 18\,x\,y^2, \quad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = 18\,x\,y^2,
logo é exata.

Passo 6

Buscamos uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x} = \widetilde M = 6\,x\,y^3.
Integrando em relação a x:
F(x,y) = \int 6\,x\,y^3\,dx = 3\,x^2\,y^3 + h(y).
Agora impondo
\frac{\partial F}{\partial y} = 9\,x^2\,y^2 + h'(y) \stackrel{!}{=} \widetilde N = 4\,y^3 + 9\,x^2\,y^2,
vemos que h'(y)=4\,y^3, o que dá h(y)=y^4. Portanto
F(x,y)=3\,x^2\,y^3 + y^4.
A solução geral implícita é
F(x,y)=C,
com C constante.

Resposta

3\,x^2\,y^3 + y^4 = C.

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