(ENADE 2014) Uma função diferenciável,
, crescente a partir da origem e situada no primeiro quadrante é tal que a área da região sob seu gráfico e acima do eixo das abscissas, de
até
, vale um quinto da área do triângulo com vértices nos pontos
e
, em que
. A equação diferencial que descreve essa situação é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
Resumindo: seja
diferenciável, crescente e positiva em
. Definimos
. O enunciado diz que a área sob o gráfico de
de
a
vale um quinto da área do triângulo com vértices
,
e
. Vamos traduzir isso em equações de área e depois diferenciar para chegar à equação diferencial.
Passo 2
A área sob o gráfico de
de
a
é
A área do triângulo de base
e altura
é
Pelo enunciado,
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
e usando regra do produto,
Logo,
Passo 4
Multiplicando por
e reorganizando,
Resposta
(B)