(ENADE 2014) Uma função diferenciável, \boldsymbol{f}, crescente a partir da origem e situada no primeiro quadrante é tal que a área da região sob seu gráfico e acima do eixo das abscissas, de \mathbf{0} até \boldsymbol{x}, vale um quinto da área do triângulo com vértices nos pontos (\mathbf{0}, \mathbf{0}),(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) e (\boldsymbol{x}, \mathbf{0}), em que \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}). A equação diferencial que descreve essa situação é
(A) x y^{\prime}-9 y=x
(B) x y^{\prime}-9 y=0
(C) x^{2} y^{\prime}-9 y=0
(D) y^{\prime}-9 x y=0
(E) y^{\prime}-9 x^{2} y=0

Passo 1

Resumindo: seja f diferenciável, crescente e positiva em [0,\infty). Definimos y(x)=f(x). O enunciado diz que a área sob o gráfico de y de 0 a x vale um quinto da área do triângulo com vértices (0,0), (x,0) e (x,y). Vamos traduzir isso em equações de área e depois diferenciar para chegar à equação diferencial.

Passo 2

A área sob o gráfico de y de 0 a x é
A(x)=\int_{0}^{x}y(t)\,dt.
A área do triângulo de base x e altura y é
T(x)=\frac{x\cdot y(x)}{2}.
Pelo enunciado,
\int_{0}^{x}y(t)\,dt=\frac{1}{5}\,T(x) =\frac{1}{5}\,\frac{x\,y(x)}{2} =\frac{x\,y(x)}{10}.

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}y(t)\,dt =y(x),
e usando regra do produto,
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x\,y(x)}{10}\Bigr) =\frac{1}{10}\bigl(y(x)+x\,y'(x)\bigr).
Logo,
y(x)=\frac{y(x)+x\,y'(x)}{10}.

Passo 4

Multiplicando por 10 e reorganizando,
10y=y+ x\,y' \quad\Longrightarrow\quad 9y = x\,y' \quad\Longrightarrow\quad x\,y'-9y=0.

Resposta

(B) x\,y'-9y=0

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