Determine um fator integrante e resolva.
Passo 1
No enunciado temos a equação diferencial de primeira ordem na forma
com
Vamos testar exatidão e, em seguida, buscar um fator integrante.
Passo 2
Para exatidão exigimos
. Calculando:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa só de
. Para isso usamos a fórmula
Calculamos o quociente:
que depende apenas de
.
Passo 4
Integrando esse quociente, obtemos
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
. Definimos
Agora
logo a equação torna-se exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 7
Para achar
, comparamos
com
:
Dessa forma
e
é constante, que absorvemos em
.
Passo 8
A solução implícita geral fica
Resposta
O fator integrante é
e a solução geral implícita é