Determine um fator integrante e resolva.
(x y^2+2) d x+3 x^2 y d y=0

Passo 1

No enunciado temos a equação diferencial de primeira ordem na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=x,y^2+2, N(x,y)=3x^2y
Vamos testar exatidão e, em seguida, buscar um fator integrante.

Passo 2

Para exatidão exigimos partial M/partial y = partial N/partial x. Calculando:
partial Mpartial y=2x y, partial Npartial x=6x y
Como 2x yneq6x y, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de x. Para isso usamos a fórmula
mu(x)=exp!l(integral partial Mpartial y-partial Npartial xN,dxr)
Calculamos o quociente:
partial Mpartial y-partial Npartial xN =2xy-6xy3x^2y =-43x,
que depende apenas de x.

Passo 4

Integrando esse quociente, obtemos
mu(x) =exp!l(integral -tfrac43x,dxr) =expl(-tfrac43ln xr) =x^-tfrac43

Passo 5

Multiplicamos a equação original por mu(x)=x^-4/3. Definimos
M^*(x,y)=x^-43l(xy^2+2r) =x^-13y^2+2x^-43,
N^*(x,y)=x^-43cdot3x^2y =3x^23y
Agora
partial M^*partial y=2x^-13y, partial N^*partial x=2x^-13y,
logo a equação torna-se exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M^*(x,y)
Integramos em relação a x:
psi(x,y) =integrall(x^-tfrac13y^2+2x^-tfrac43r),dx =y^2integral x^-tfrac13dx +2integral x^-tfrac43dx =32x^tfrac23y^2-6x^-tfrac13+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 7

Para achar h(y), comparamos partial psi/partial y com N^*(x,y):
partial psipartial y =3x^tfrac23y+h'(y) stackrel!=3x^tfrac23y
Dessa forma h'(y)=0 e h(y) é constante, que absorvemos em C.

Passo 8

A solução implícita geral fica
32x^tfrac23y^2-6x^-tfrac13=C

Resposta

O fator integrante é mu(x)=x^-43 e a solução geral implícita é
32x^tfrac23y^2-6x^-tfrac13=C

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