Determine o fator integrante que transforma às seguintes equações diferenciais em Exatas e calcule a solução geral em cada caso.
y+\left(2 x-y e^{y}\right) y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o fator integrante que torna exata a equação diferencial
y + \bigl(2x - y e^y\bigr)\,y' = 0,
e em seguida determinar sua solução geral. Aqui vamos tratar como uma equação da forma
M(x,y) + N(x,y)\,\frac{dy}{dx} = 0,
procurar um fator integrante \mu que dependa só de x ou só de y, tornar a equação exata e, por fim, obter a função potencial.

Passo 2

Escrevendo
M(x,y)=y,\qquad N(x,y)=2x - y e^y,
verificamos
\frac{\partial M}{\partial y}=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, não é exata. Testamos a condição
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{2-1}{y} =\frac{1}{y},
que depende só de y. Logo existe um fator integrante \mu(y) com
\mu(y)=\exp\!\Bigl(\int \frac{1}{y}\,dy\Bigr) =\exp(\ln y) =y.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por \mu(y)=y, obtendo
y\cdot y + y\bigl(2x - y e^y\bigr)\,y' = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y^2 + \bigl(2xy - y^2 e^y\bigr)\,y' = 0.
Agora M^*(x,y)=y^2 e N^*(x,y)=2xy - y^2 e^y. Checamos
\frac{\partial M^*}{\partial y}=2y, \qquad \frac{\partial N^*}{\partial x}=2y,
portanto a equação é exata.

Passo 4

Como é exata, existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M^*(x,y)=y^2, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N^*(x,y)=2xy - y^2 e^y.
Integramos \partial \Phi/\partial x=y^2 em relação a x:
\Phi(x,y)=\int y^2\,dx = xy^2 + h(y).

Passo 5

Derivando \Phi em relação a y e igualando a N^*, encontramos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =2xy + h'(y) \stackrel!=2xy - y^2 e^y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-y^2 e^y.
Então
h(y)=\int -y^2 e^y\,dy =-e^y\bigl(y^2-2y+2\bigr)+C_1.
Logo a função potencial é
\Phi(x,y) =xy^2 - e^y\bigl(y^2-2y+2\bigr).

Resposta

A solução implícita geral é
xy^2 - e^y\bigl(y^2 - 2y + 2\bigr) = C.

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