Determine o fator integrante que transforma às seguintes equações diferenciais em Exatas e calcule a solução geral em cada caso.
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o fator integrante que torna exata a equação diferencial
e em seguida determinar sua solução geral. Aqui vamos tratar como uma equação da forma
procurar um fator integrante
que dependa só de
ou só de
, tornar a equação exata e, por fim, obter a função potencial.
Passo 2
Escrevendo
verificamos
Como
, não é exata. Testamos a condição
que depende só de
. Logo existe um fator integrante
com
Passo 3
Multiplicamos toda a equação original por
, obtendo
Agora
e
. Checamos
portanto a equação é exata.
Passo 4
Como é exata, existe
tal que
Integramos
em relação a
:
Passo 5
Derivando
em relação a
e igualando a
, encontramos
Então
Logo a função potencial é
Resposta
A solução implícita geral é