Resolva cada um dos Problemas de Valor inicial a seguir,
(a) \left\{ \begin{array}{l} 2 y \frac{d y}{d x}=-x^{2} ; \\\ y(0)=2,\\\ \end{array} \right.
(b) \left\{ \begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=y \operatorname{sen} x ; \\\ y(\pi)=-3,\\\ \end{array} \right.
(c) \left\{ \begin{array}{l} \frac{d y}{d x}=2 \sqrt{y+1} \cos x ; \\\ y(\pi)=0,\\\ \end{array} \right.
\left[\operatorname{Resp}:(a) y(x)=\sqrt{4-\frac{x^{3}}{3}}, \quad(b) y(x)=-3 e^{-1-\cos x}, \quad\text{(c)} y(x)=(\operatorname{sen} x+1)^{2}-1 .\right]

Passo 1

Temos três problemas de valor inicial que são equações diferenciais de variáveis separáveis. O método geral é separar y de x, integrar ambos os lados e depois usar a condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Resolver o item (a):
2\,y\,\frac{dy}{dx}=-x^2.
Separamos as variáveis:
2\,y\,dy = -x^2\,dx.
Integrando,
\int 2\,y\,dy = \int -x^2\,dx \quad\Longrightarrow\quad y^2 = -\frac{x^3}{3} + C.
Usando y(0)=2, vem
2^2 = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C=4.
Logo
y^2 = 4 - \frac{x^3}{3} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \sqrt{4 - \frac{x^3}{3}},
escolhendo o ramo positivo para satisfazer y(0)=2.

Passo 3

Resolver o item (b):
\frac{dy}{dx} = y \sin x.
Separamos:
\frac{dy}{y} = \sin x\,dx.
Integrando,
\int \frac{dy}{y} = \int \sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert y\rvert = -\cos x + C.
Logo
y = C' e^{-\cos x}.
Da condição y(\pi)=-3 e \cos\pi=-1:
-3 = C' e^{1} \quad\Longrightarrow\quad C' = -3e^{-1}.
Assim
y(x) = -3\,e^{-1-\cos x}.

Passo 4

Resolver o item (c):
\frac{dy}{dx} = 2\sqrt{y+1}\,\cos x.
Separamos:
\frac{dy}{2\sqrt{y+1}} = \cos x\,dx.
Integrando,
\int \frac{dy}{2\sqrt{y+1}} = \int \cos x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{y+1} = \sin x + C.
Elevando ao quadrado:
y + 1 = (\sin x + C)^2 \quad\Longrightarrow\quad y(x) = (\sin x + C)^2 - 1.
Usando y(\pi)=0 e \sin\pi=0:
0 = C^2 - 1 \quad\Longrightarrow\quad C = \pm1.
Para manter y+1\ge0 e continuidade com a condição inicial, escolhemos C=1. Logo
y(x) = (\sin x + 1)^2 - 1.

Resposta

(a) y(x)=\sqrt{4-\tfrac{x^3}{3}}
(b) y(x)=-3e^{-1-\cos x}
(c) y(x)=(\sin x+1)^2-1

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