Uma equação diferencial de primeira ordem é dita de Bernoulli se pode ser escrita na forma y^{\prime}+p(x) y=q(x) y^{\alpha} ; \alpha \neq 0,1. Toda e.d.o. de Bernoulli pode ser transformada em uma e.d.o linear através da mudança de variável v=y^{1-\alpha}. Resolva as seguintes e.d.o:
y^{\prime}+\frac{y}{x}=x^{2} y^{4}.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial de Bernoulli
y'+\frac{1}{x}\,y = x^{2}\,y^{4},
onde identificamos p(x)=\tfrac{1}{x}, q(x)=x^{2} e \alpha=4. A teoria diz que, com a troca de variável
v = y^{\,1-\alpha} = y^{-3},
obtém-se uma equação linear em v.

Passo 2

Vamos relacionar v e y. Como v = y^{-3},
\frac{dv}{dx} = -3\,y^{-4}\,\frac{dy}{dx}
que implica
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3}\,y^{4}\,\frac{dv}{dx}.

Passo 3

Substituindo \tfrac{dy}{dx} na equação original,
-\frac{1}{3}\,y^{4}v' + \frac{1}{x}\,y = x^{2}\,y^{4}.
Agora dividimos tudo por y^{4} e usamos y^{-3}=v, obtendo
-\frac{1}{3}v' + \frac{v}{x} = x^{2}.
Multiplicando por -3 resulta
v' - \frac{3}{x}\,v = -3\,x^{2},
que é uma equação linear padrão em v.

Passo 4

Para resolver
v' - \frac{3}{x}\,v = -3\,x^{2}
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{3}{x}\,dx\Bigr) = x^{-3}.
Multiplicando a equação por x^{-3} vemos que o lado esquerdo é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-3}v\bigr) = -3\,x^{-1}.
Integramos em x:
x^{-3}v = \int -3\,x^{-1}dx = -3\ln\lvert x\rvert + C.
Logo
v = x^{3}\bigl(C - 3\ln\lvert x\rvert\bigr).

Passo 5

Voltando a y, como v=y^{-3}, temos
y^{-3} = x^{3}\bigl(C - 3\ln\lvert x\rvert\bigr),
de onde
y = \bigl[x^{3}(C - 3\ln\lvert x\rvert)\bigr]^{-1/3} = \frac{1}{x\,(C - 3\ln\lvert x\rvert)^{1/3}}.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{1}{x\,\bigl(C - 3\ln\lvert x\rvert\bigr)^{1/3}},}
onde C é a constante arbitrária de integração.

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