Resolva as seguintes e.d.o de segunda a ordem através de uma substituição que permita reduzir a ordem da equação:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de segunda ordem
usando uma substituição que reduza a ordem. O conteúdo é a resolução de uma EDO linear de 2ª ordem sem termo em
, e vamos usar a ideia de definir
para obter uma EDO de 1ª ordem em
.
Passo 2
Definindo
, temos
. Substituindo na EDO original:
Isso é uma EDO linear de primeira ordem em
.
Passo 3
Colocamos em forma padrão
O termo
é o coeficiente de
.
Passo 4
Calculamos o fator integrante
Multiplicando a EDO padrão por
obtemos
Passo 5
Integramos em
:
portanto
Fazendo frações parciais em
:
logo
Passo 6
Integramos para obter
:
A primeira integral dá
e a segunda dá
, mais constante
. Assim
Renomeando
e
, temos a solução geral.
Resposta
com
constantes arbitrárias.