Resolva as seguintes e.d.o de segunda a ordem através de uma substituição que permita reduzir a ordem da equação:
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}=2 x^{-3}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de segunda ordem
(1+x^{2})\,y'' + 2x\,y' = 2\,x^{-3}
usando uma substituição que reduza a ordem. O conteúdo é a resolução de uma EDO linear de 2ª ordem sem termo em y, e vamos usar a ideia de definir
v = y'
para obter uma EDO de 1ª ordem em v.

Passo 2

Definindo v = y', temos v' = y''. Substituindo na EDO original:
(1+x^{2})\,v' + 2x\,v = 2\,x^{-3}.
Isso é uma EDO linear de primeira ordem em v.

Passo 3

Colocamos em forma padrão
v' + \frac{2x}{1+x^{2}}\,v = \frac{2\,x^{-3}}{1+x^{2}}.
O termo \frac{2x}{1+x^{2}} é o coeficiente de v.

Passo 4

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\biggl(\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx\biggr) = \exp\!\bigl(\ln(1+x^{2})\bigr) = 1+x^{2}.
Multiplicando a EDO padrão por \mu(x) obtemos
\frac{d}{dx}\bigl[(1+x^{2})\,v\bigr] = 2\,x^{-3}.

Passo 5

Integramos em x:
(1+x^{2})\,v = \int 2\,x^{-3}\,dx = -\,x^{-2} + C_{1},
portanto
v = y' = \frac{-x^{-2} + C_{1}}{1+x^{2}} = -\frac{1}{x^{2}(1+x^{2})} + \frac{C_{1}}{1+x^{2}}.
Fazendo frações parciais em -1/[x^{2}(1+x^{2})]:
-\frac{1}{x^{2}(1+x^{2})} = -\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{1+x^{2}},
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y' = -\frac{1}{x^{2}} + \frac{1 + C_{1}}{1+x^{2}}.

Passo 6

Integramos para obter y(x):
\int y'\,dx = \int \Bigl(-x^{-2}\Bigr)\,dx + \int \frac{1 + C_{1}}{1+x^{2}}\,dx.
A primeira integral dá 1/x e a segunda dá (1+C_{1})\arctan x, mais constante C_{2}. Assim
y(x) = \frac{1}{x} + (1 + C_{1})\,\arctan x + C_{2}.
Renomeando A = 1 + C_{1} e B = C_{2}, temos a solução geral.

Resposta

y(x) = \frac{1}{x} + A\,\arctan x + B,
com A,B constantes arbitrárias.

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