Encontre a solução geral das seguintes de primeira ordem e.d.o. lineares :
x y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen} x .\left(\operatorname{Resp}: y=\left(1 / x^{2}\right)(\operatorname{sen} x-x \cos x+c)\right).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear
x\,y'+2\,y=\sin x.
Este tipo de equação tem a forma padrão
y'+P(x)\,y=Q(x),
onde aqui P(x)=2/x e Q(x)=\sin x/x. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação em forma padrão dividindo por x (supondo x\neq0):
y'+\frac{2}{x}\,y=\frac{\sin x}{x}.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\!\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) =\exp\bigl(2\ln|x|\bigr) =x^2.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por \mu(x)=x^2:
x^2y'+2x\,y=x\sin x.
O lado esquerdo é agora a derivada do produto x^2y:
\frac{d}{dx}\bigl(x^2y\bigr)=x\sin x.
Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos
x^2y=\int x\sin x\,dx + C.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int x\sin x\,dx usamos integração por partes, com
\;u=x, \;dv=\sin x\,dx. Então
u'=1,\quad v=-\cos x,
e
\int x\sin x\,dx =-x\cos x-\int(-\cos x)\,dx =-x\cos x+\int\cos x\,dx =-x\cos x+\sin x.
Logo
x^2y=-x\cos x+\sin x+C,
e portanto
y=\frac{-x\cos x+\sin x+C}{x^2} =\frac{\sin x - x\cos x + C}{x^2}.

Resposta

y=\frac{1}{x^2}\bigl(\sin x - x\cos x + C\bigr).

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