Determine a fatoração completa de
em
.
Passo 1
O enunciado pede a fatoração completa de
no anel
(polinômios com coeficientes reais).
Informações dadas: temos o polinômio , de grau
. O objetivo é escrever
como produto de fatores em
onde cada fator é ou linear (raiz real) ou uma quadrática irredutível (sem raízes reais).
Informações dadas: temos o polinômio
Passo 2
Vamos usar uma identidade algébrica básica: a diferença de quadrados.
A identidade é . Aqui podemos colocar
e
. Aplicando:
A identidade é
Isso já reduz o grau de cada fator de
para
, o que é um passo natural para continuar a fatoração.
Passo 3
Agora fatoramos as duas fichas cúbicas usando as fórmulas de soma e diferença de cubos. As fórmulas gerais são:
Tomando
e
, obtemos diretamente:
Vou explicar rapidamente por que essas fórmulas funcionam: por exemplo, expandindo
temos
, logo a identidade está correta.
Passo 4
Substituindo essas fatorações na expressão do Passo 2, obtemos a fatoração conjunta:
Podemos reorganizar os fatores em qualquer ordem; escrevo-os de forma agrupada:
Passo 5
Precisamos verificar se os fatores quadráticos ainda podem ser decompostos sobre
. Para isso usamos o discriminante de uma quadrática. Para uma quadrática genérica
, o discriminante é
. Se
, a quadrática não tem raízes reais e é irreduzível em
.
Calculemos os discriminantes:
Calculemos os discriminantes:
Para
:
,
,
, então
Para
:
,
,
, então
Como ambos os discriminantes são negativos, nenhuma dessas quadráticas tem raiz real; portanto são irreduzíveis em
. Assim a fatoração encontrada é completa sobre os reais.