Determine a fatoração completa de f=x^{6}-1 em \mathbb{R}[x].

Passo 1

O enunciado pede a fatoração completa de f=x^{6}-1 no anel \mathbb{R}[x] (polinômios com coeficientes reais).
Informações dadas: temos o polinômio f(x)=x^{6}-1, de grau 6. O objetivo é escrever f como produto de fatores em \mathbb{R}[x] onde cada fator é ou linear (raiz real) ou uma quadrática irredutível (sem raízes reais).

Passo 2

Vamos usar uma identidade algébrica básica: a diferença de quadrados.
A identidade é (a^2-b^2)=(a-b)(a+b). Aqui podemos colocar a=x^3 e b=1. Aplicando:
x^{6}-1=(x^3)^2-1^2=(x^3-1)(x^3+1).
Isso já reduz o grau de cada fator de 6 para 3, o que é um passo natural para continuar a fatoração.

Passo 3

Agora fatoramos as duas fichas cúbicas usando as fórmulas de soma e diferença de cubos. As fórmulas gerais são:
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).
Tomando a=x e b=1, obtemos diretamente:
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),
x^3+1=(x+1)(x^2-x+1).
Vou explicar rapidamente por que essas fórmulas funcionam: por exemplo, expandindo (x-1)(x^2+x+1) temos x^3 + x^2 + x - x^2 - x -1 = x^3-1, logo a identidade está correta.

Passo 4

Substituindo essas fatorações na expressão do Passo 2, obtemos a fatoração conjunta:
x^{6}-1=(x^3-1)(x^3+1)=(x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x^2-x+1).
Podemos reorganizar os fatores em qualquer ordem; escrevo-os de forma agrupada:
x^{6}-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1).

Passo 5

Precisamos verificar se os fatores quadráticos ainda podem ser decompostos sobre \mathbb{R}. Para isso usamos o discriminante de uma quadrática. Para uma quadrática genérica ax^2+bx+c, o discriminante é \Delta=b^2-4ac. Se \Delta<0, a quadrática não tem raízes reais e é irreduzível em \mathbb{R}[x].
Calculemos os discriminantes:
Para x^2+x+1: a=1, b=1, c=1, então
\Delta_1=1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0.
Para x^2-x+1: a=1, b=-1, c=1, então
\Delta_2=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0.
Como ambos os discriminantes são negativos, nenhuma dessas quadráticas tem raiz real; portanto são irreduzíveis em \mathbb{R}[x]. Assim a fatoração encontrada é completa sobre os reais.

Resposta

x^{6}-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)

Exercícios relacionados