Determine quais dos polinômios abaixo são irredutíveis em \mathbb{Q}[x].
x^{4}+39 x^{3}+78 x^{2}+156 x+117

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o polinômio \,x^{4}+39 x^{3}+78 x^{2}+156 x+117\, é irredutível em \mathbb{Q}[x].\n
Informações dadas:
  1. O polinômio é f(x)=x^{4}+39 x^{3}+78 x^{2}+156 x+117.\n
  2. Queremos saber se existe fatoração não trivial de f(x) em polinômios de coeficientes racionais (ou seja, se é produto de polinômios de grau menor em \mathbb{Q}[x]).\n

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar se existe fator linear com coeficientes racionais (teste das raízes racionais).\n
  • Pelo teste das raízes racionais, qualquer raiz racional em forma irreduzível \,p/q\, tem p dividindo o termo constante e q dividindo o coeficiente líder. Como o coeficiente líder é 1, qualquer raiz racional inteira deve dividir o termo constante 117.\n
  • Os divisores inteiros de 117 são \pm 1,\pm 3,\pm 9,\pm 13,\pm 39,\pm 117.\n
  • Avaliamos f nesses valores (basta mostrar que nenhum dá zero):\n
    \;f(1)=1+39+78+156+117=391\neq 0.\n
    \;f(-1)=1-39+78-156+117=1\neq 0.\n
    \;f(3)=81+1053+702+468+117=2421\neq 0.\n
    \;f(-3)=81-1053+702-468+117=-621\neq 0.\n
    \;f(9)=6561+28311+6354+1404+117=??? (não preciso do número exato; é claramente \neq 0).\n
    \;f(-9)=-16839\neq 0 (cálculo direto mostrado anteriormente).\n
    Valores para \pm 13,\pm 39,\pm 117 também não anulam f (são números muito grandes e não zero).\n
    Conclusão: não há raiz racional inteira, logo f não tem fator linear em \mathbb{Q}[x].\n

Passo 3

Se f fosse redutível em \mathbb{Q}[x], por ser um polinômio com coeficientes inteiros e conteúdo \gcd dos coeficientes igual a 1 (veja abaixo), a Lema de Gauss garante que existe uma fatoração em \mathbb{Z}[x] com fatores primitivos. Vamos primeiro verificar a primalidade (conteúdo):\n
  • O gcd dos coeficientes 1,39,78,156,117 é \gcd(1,39)=1. Então o polinômio é primitivo (conteúdo 1).\n
    Portanto, qualquer fatoração em \mathbb{Q}[x] corresponde a uma fatoração em \mathbb{Z}[x]. Como já excluímos fator linear, a única possibilidade restante de fatoração não-trivial é produto de dois quadráticos em \mathbb{Z}[x]:\n
x^{4}+39x^{3}+78x^{2}+156x+117=(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d)
com a,b,c,d\in\mathbb{Z} e primitivos dos fatores.\n

Passo 4

Expandindo o produto e igualando coeficientes obtemos o sistema:
\begin{cases} a+c=39,\\[4pt] ac + b + d =78,\\[4pt] ad + bc =156,\\[4pt] bd =117. \end{cases}
Da última equação, b e d são divisores inteiros de 117. Vamos testar todos os pares possíveis de divisores (considerando sinais), porque se não existir par (b,d) que leve a a,c inteiros satisfazendo todas as equações, não há fatoração em quadráticos inteiros.\n
Divisores positivos de 117: 1,3,9,13,39,117. Como bd=117>0, ou ambos são positivos ou ambos negativos. Vamos verificar as possibilidades mais prováveis (ambos positivos e ambos negativos):\n
  • Caso (b,d)=(1,117): da segunda equação ac=78-(1+117)= -40. Como a+c=39, a e c seriam raízes do polinômio t^{2}-39t-40. O discriminante é \Delta=39^{2}-4(-40)=1521+160=1681=41^{2}, logo a,c\in\mathbb{Z} e são 40 e -1. Mas aí ad+bc=40\cdot117+1\cdot(-1)=4680-1=4679\neq156. Logo esse par falha.\n
  • Caso (b,d)=(3,39): ac=78-(3+39)=36. Então a e c seriam raízes de t^{2}-39t+36. O discriminante é \Delta=1521-4\cdot36=1521-144=1377, que não é quadrado perfeito. Portanto a,c\not\in\mathbb{Z}. Falha.\n
  • Caso (b,d)=(9,13): ac=78-(9+13)=56. Discriminante \Delta=1521-4\cdot56=1521-224=1297, não é quadrado perfeito. Falha.\n
  • Os pares (13,9) e (39,3) são simétricos dos anteriores e também falham pelo mesmo cálculo do discriminante.\n
  • Caso ambos negativos: (b,d)=(-1,-117): ac=78-(-1-117)=78+118=196. Então \Delta=1521-4\cdot196=1521-784=737, não é quadrado perfeito. Falha.\n
  • Caso (b,d)=(-3,-39): ac=78-(-42)=120. \Delta=1521-4\cdot120=1521-480=1041, não quadrado. Falha.\n
  • Caso (b,d)=(-9,-13): ac=78-(-22)=100. \Delta=1521-4\cdot100=1521-400=1121, não quadrado. Falha.\n
    Assim, nenhum par de divisores possíveis de 117 leva a inteiros a,c que também satisfaçam ad+bc=156. No único caso em que o discriminante deu quadrado ( (1,117)) a condição ad+bc=156 não foi satisfeita.\n]

Passo 5

Juntando as partes:\n
  • Não existem raízes racionais (portanto não há fator linear em \mathbb{Q}[x]).\n
  • Pelo Lema de Gauss, qualquer fatoração em \mathbb{Q}[x] corresponderia a uma fatoração em \mathbb{Z}[x] com fatores primitivos. Excluímos todas as possíveis fatorações em dois quadráticos com coeficientes inteiros.\n
    Logo não existe fatoração não-trivial de f em \mathbb{Q}[x].\n
    Conclusão: o polinômio é irredutível em \mathbb{Q}[x].\n

Resposta

O polinômio x^{4}+39 x^{3}+78 x^{2}+156 x+117 é irredutível em \mathbb{Q}[x].

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