Determine quais dos polinômios abaixo são irredutíveis em \mathbb{Q}[x].
x^{3}-7 x^{2}+3 x+3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o polinômio x^{3}-7 x^{2}+3 x+3 é irreduzível em \mathbb{Q}[x].\n
Informações dadas:
  • O polinômio é x^{3}-7 x^{2}+3 x+3.
  • Devemos trabalhar sobre o corpo dos números racionais, \mathbb{Q}.
  • Não há outras informações (como restrições adicionais).\n
    Pergunta explícita que vamos responder: o polinômio dado é irreduzível em \mathbb{Q}[x] ou não? Se não, apresentar a fatoração adequada em \mathbb{Q}[x].

Passo 2

Estratégia prática (explicação didática do método que vamos usar).\n
Para polinômios de grau 2 ou 3 com coeficientes racionais (ou inteiros), existe um fato muito útil: um polinômio de grau 3 é irreduzível em \mathbb{Q}[x] se, e somente se, ele não tem nenhuma raiz racional. Isso ocorre porque, se for redutível, deve ter um fator de grau 1 (um polinômio linear) com coeficientes racionais, e isso corresponde exatamente a existir uma raiz racional.\n
Para procurar possíveis raízes racionais usamos o Teorema das Raízes Racionais (teorema do fator racional): se p/q (em forma irredutível) é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros e coeficiente líder a_n e termo constante a_0, então p divide a_0 e q divide a_n.\n
No nosso caso o coeficiente líder é 1 e o termo constante é 3, então os candidatos a raízes racionais são os divisores inteiros de 3, ou seja \pm 1 e \pm 3. Vamos testar esses valores.

Passo 3

Avaliação do polinômio nos candidatos (faça sempre as contas detalhadas):\n
Calculemos f(1) onde f(x)=x^{3}-7 x^{2}+3 x+3.\n
f(1)=1^{3}-7\cdot 1^{2}+3\cdot 1+3=1-7+3+3.
Agora somamos passo a passo: 1-7=-6, -6+3=-3, -3+3=0. Logo
f(1)=0.
Portanto x=1 é raiz racional do polinômio. (Como já achamos uma raiz racional não precisamos testar os outros candidatos para decidir irreducibilidade: o polinômio é redutível.)

Passo 4

Fatoração usando a raiz x=1.\n
Se x=1 é raiz, então (x-1) é um fator. Vamos dividir o polinômio por (x-1) para obter o co-fator quadrático. Fazemos a divisão sintética (ou a divisão polinomial) com os coeficientes 1,\,-7,\,3,\,3 e o valor 1:\n
  • Trazer o 1 (coeficiente líder) para baixo: obtemos 1.\n
  • Multiplicar por 1: 1\cdot 1=1. Somar com -7 -6.\n
  • Multiplicar -6 por 1: -6. Somar com 3 -3.\n
  • Multiplicar -3 por 1: -3. Somar com 3 0 (resto zero, como esperado).\n
    Os coeficientes do quociente são 1,\,-6,\,-3, ou seja o quociente é x^{2}-6x-3.\n
    Portanto
x^{3}-7 x^{2}+3 x+3=(x-1)(x^{2}-6x-3).

Passo 5

Verificar se o fator quadrático x^{2}-6x-3 é irreduzível em \mathbb{Q}[x].\n
Para um polinômio quadrático ax^{2}+bx+c com coeficientes racionais, ele é redutível em \mathbb{Q}[x] exatamente quando possui raízes racionais; isso ocorre quando o discriminante \Delta=b^{2}-4ac é um quadrado perfeito racional (no caso inteiro, um quadrado inteiro). Aqui a=1, b=-6, c=-3. Calculamos o discriminante:\n
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot 1\cdot(-3)=36+12=48.
Agora observar: 48 não é um quadrado perfeito inteiro (os quadrados inteiros próximos são 36=6^{2} e 49=7^{2}). Portanto \sqrt{\Delta}=\sqrt{48} não é racional, logo as raízes do quadrático são irracionais. Consequentemente x^{2}-6x-3 não se fatoriza em fatores lineares com coeficientes racionais — isto é, é irreduzível em \mathbb{Q}[x].\n
(Alternativamente, escrever as raízes explicitamente: x=\dfrac{6\pm\sqrt{48}}{2}=3\pm\sqrt{12}=3\pm 2\sqrt{3}, que são irracionais.)

Passo 6

Conclusão (juntando tudo): o polinômio de grau 3 tem uma raiz racional x=1, portanto é redutível em \mathbb{Q}[x]. A fatoração completa em \mathbb{Q}[x] é (x-1)(x^{2}-6x-3), onde o quadrático é irreduzível em \mathbb{Q}[x].\n
Vai dar tudo certo na prova — você já sabe o raciocínio: testar raízes racionais (divisores do termo constante) e depois analisar o co-fator.

Resposta

x^{3}-7 x^{2}+3 x+3 é redutível em \mathbb{Q}[x]; fatora-se (x-1)(x^{2}-6x-3), com x^{2}-6x-3 irreduzível em \mathbb{Q}[x].

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