Determine quais dos polinômios abaixo são irredutíveis em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o polinômio
é irreduzível em
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- O polinômio é
. - Devemos trabalhar sobre o corpo dos números racionais,
. - Não há outras informações (como restrições adicionais).\n
Pergunta explícita que vamos responder: o polinômio dado é irreduzível emou não? Se não, apresentar a fatoração adequada em .
Passo 2
Estratégia prática (explicação didática do método que vamos usar).\n
Para polinômios de grau ou
com coeficientes racionais (ou inteiros), existe um fato muito útil: um polinômio de grau
é irreduzível em
se, e somente se, ele não tem nenhuma raiz racional. Isso ocorre porque, se for redutível, deve ter um fator de grau
(um polinômio linear) com coeficientes racionais, e isso corresponde exatamente a existir uma raiz racional.\n
Para procurar possíveis raízes racionais usamos o Teorema das Raízes Racionais (teorema do fator racional): se (em forma irredutível) é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros e coeficiente líder
e termo constante
, então
divide
e
divide
.\n
No nosso caso o coeficiente líder é e o termo constante é
, então os candidatos a raízes racionais são os divisores inteiros de
, ou seja
e
. Vamos testar esses valores.
Para polinômios de grau
Para procurar possíveis raízes racionais usamos o Teorema das Raízes Racionais (teorema do fator racional): se
No nosso caso o coeficiente líder é
Passo 3
Avaliação do polinômio nos candidatos (faça sempre as contas detalhadas):\n
Calculemos onde
.\n
Calculemos
Agora somamos passo a passo:
,
,
. Logo
Portanto
é raiz racional do polinômio. (Como já achamos uma raiz racional não precisamos testar os outros candidatos para decidir irreducibilidade: o polinômio é redutível.)
Passo 4
Fatoração usando a raiz
.\n
Se é raiz, então
é um fator. Vamos dividir o polinômio por
para obter o co-fator quadrático. Fazemos a divisão sintética (ou a divisão polinomial) com os coeficientes
e o valor
:\n
Se
- Trazer o
(coeficiente líder) para baixo: obtemos .\n - Multiplicar por
: . Somar com dá .\n - Multiplicar
por : . Somar com dá .\n - Multiplicar
por : . Somar com dá (resto zero, como esperado).\n
Os coeficientes do quociente são, ou seja o quociente é .\n
Portanto
Passo 5
Verificar se o fator quadrático
é irreduzível em
.\n
Para um polinômio quadrático com coeficientes racionais, ele é redutível em
exatamente quando possui raízes racionais; isso ocorre quando o discriminante
é um quadrado perfeito racional (no caso inteiro, um quadrado inteiro). Aqui
,
,
. Calculamos o discriminante:\n
Para um polinômio quadrático
Agora observar:
não é um quadrado perfeito inteiro (os quadrados inteiros próximos são
e
). Portanto
não é racional, logo as raízes do quadrático são irracionais. Consequentemente
não se fatoriza em fatores lineares com coeficientes racionais — isto é, é irreduzível em
.\n
(Alternativamente, escrever as raízes explicitamente: , que são irracionais.)
(Alternativamente, escrever as raízes explicitamente:
Passo 6
Conclusão (juntando tudo): o polinômio de grau
tem uma raiz racional
, portanto é redutível em
. A fatoração completa em
é
, onde o quadrático é irreduzível em
.\n
Vai dar tudo certo na prova — você já sabe o raciocínio: testar raízes racionais (divisores do termo constante) e depois analisar o co-fator.
Vai dar tudo certo na prova — você já sabe o raciocínio: testar raízes racionais (divisores do termo constante) e depois analisar o co-fator.