Determine, sem fazer contas, se a matriz é definida positiva; definida negativa; semidefinida positiva; semidefinida negativa ou indefinida: .
Passo 1
O enunciado pede para a gente classificar a matriz
A=4 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & -2
em termos de positividade/negatividade. O conteúdo é teoria de matrizes simétricas e definição de matriz definida ou semidefinida. Vamos usar o fato de que, para matrizes diagonais, os autovalores são os elementos da diagonal.
Passo 2
Como a matriz é diagonal, seus autovalores são simplesmente os valores na diagonal principal: λ1=4, λ2=3 e λ3=-2.
Passo 3
Pela teoria, uma matriz é definida positiva se todos os autovalores forem positivos, definida negativa se todos forem negativos, semidefinida positiva/negativa se todos forem não negativos ou não positivos, respectivamente, e indefinida se houver autovalores de sinais diferentes.
Passo 4
Aqui temos dois autovalores positivos (4 e 3) e um negativo (-2). Isso significa que a matriz tem sinais mistos e, portanto, é indefinida.