Prove que toda forma quadrática
está associada a uma a matriz simétrica
.
Dica: use a propriedade de que
é simétrica.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado qualquer forma quadrática
(com
não necessariamente simétrica), existe uma matriz simétrica
tal que
. Vamos usar teoria de formas quadráticas e a propriedade de transposição.
Passo 2
Definimos a matriz
. Primeiro, percebemos que
é simétrica pois
Passo 3
Em seguida, lembramos que
é um escalar (número). Para qualquer escalar
, vale
. Logo,
Passo 4
Agora, somamos essas duas expressões e dividimos por 2:
Passo 5
Mas como
, cada parcela na média é igual a
. Portanto
Resposta
A matriz simétrica associada é
, pois satisfaz
.