Prove que toda forma quadrática x^t A x está associada a uma a matriz simétrica A.
Dica: use a propriedade de que é simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado qualquer forma quadrática x^T A x (com A não necessariamente simétrica), existe uma matriz simétrica B tal que x^T A x = x^T B x. Vamos usar teoria de formas quadráticas e a propriedade de transposição.

Passo 2

Definimos a matriz B = A + A^T2. Primeiro, percebemos que B é simétrica pois
B^T = l(tfracA + A^T2r)^T = tfracA^T + (A^T)^T2 = tfracA^T + A2 = B

Passo 3

Em seguida, lembramos que x^T A x é um escalar (número). Para qualquer escalar alpha, vale alpha = alpha^T. Logo,
x^T A x = (x^T A x)^T = x^T A^T x

Passo 4

Agora, somamos essas duas expressões e dividimos por 2:
x^T A x + x^T A^T x2 = x^T l(A + A^T2r) x = x^T B x

Passo 5

Mas como x^T A x = x^T A^T x, cada parcela na média é igual a x^T A x. Portanto
x^T A x = x^T B x com B simétrica. Isso prova que toda forma quadrática x^T A x pode ser representada por uma matriz simétrica.

Resposta

A matriz simétrica associada é B = A + A^T2, pois satisfaz x^T A x = x^T B x.

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