Seja
uma forma quadrática nas variáveis
, definida em
por
. Seja
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para a forma quadrática definida por
, vale a identidade
. O conteúdo aqui é a expansão de uma forma quadrática usando a bilinearidade do produto matricial, e vamos precisar também da simetria de
(isto é,
).
Passo 2
Para começar, observe que
Pela propriedade de soma no produto escalar matricial (bilinearidade), podemos distribuir:
Passo 3
Agora usamos que
é simétrica, ou seja,
. Logo,
Isso nos permite somar os termos cruzados.
Passo 4
Substituindo de volta e agrupando, fica:
Passo 5
Isso conclui a demonstração da identidade desejada.