Seja x^t A x uma forma quadrática nas variáveis x1, x2, ldots, xn, definida em T: R^n R por T(x)=x^t A x. Seja T(x+y)=T(x)+2 x^t A y+T(y), mostre que .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para a forma quadrática definida por T(x)=x^tAx, vale a identidade T(x+y)=T(x)+2,x^tAy+T(y). O conteúdo aqui é a expansão de uma forma quadrática usando a bilinearidade do produto matricial, e vamos precisar também da simetria de A (isto é, A^t=A).

Passo 2

Para começar, observe que
T(x+y)=(x+y)^t,A,(x+y)
Pela propriedade de soma no produto escalar matricial (bilinearidade), podemos distribuir:
(x+y)^t,A,(x+y) =x^tAx+x^tAy+y^tAx+y^tAy

Passo 3

Agora usamos que A é simétrica, ou seja, A^t=A. Logo,
y^tAx=(y^tAx)^t=x^tA^ty=x^tAy
Isso nos permite somar os termos cruzados.

Passo 4

Substituindo de volta e agrupando, fica:
T(x+y)=x^tAx+2,x^tAy+y^tAy = T(x) + 2,x^tAy + T(y)

Passo 5

Isso conclui a demonstração da identidade desejada.

Resposta

T(x+y)=T(x)+2,x^tAy+T(y).

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