Expresse as formas quadráticas em notação matricial mathbfx^mathbft mathbfA mathbfx, em que mathbfA é uma matriz simétrica:
Q(mathbfx)=5 x1^2+5 x1 x2.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a forma quadrática
Q(\mathbf{x}) = 5x_{1}^{2} + 5x_{1}x_{2}
na forma matricial x^TAx, sabendo que A deve ser simétrica. Estamos no contexto de formas quadráticas e notação matricial, e vamos usar a propriedade geral de que
x^TAx = a11x1^2 + 2a12x1x2 + a22x2^2.

Passo 2

Para uma matriz simétrica A = a11 & a12 a12 & a22 a expansão de x^TAx é
x^TAx = a11x1^2 + 2a12x1x2 + a22x2^2
Queremos igualar isso a 5x1^2 + 5x1x2.

Passo 3

Comparando coeficientes temos:
  • Para x1^2: a11 = 5.
  • Para x1x2: 2a12 = 5 implica a12 = tfrac52.
  • Para x2^2: não aparece termo em x2^2, logo a22 = 0.
    Portanto,

Passo 4

A matriz simétrica que representa a forma quadrática é
A = 5 & tfrac52 tfrac52 & 0

Resposta

A = 5 & tfrac52[6pt]tfrac52 & 0

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