Determine sem fazer contas se o sistema homogêneo tem soluções não triviais.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema homogêneo
x1+2x2-x3=0, 3x2+2x3=0, 4x3=0
e pede para decidir sem fazer contas se ele admite soluções não triviais. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares homogêneos: sabemos que um sistema A x=0 só tem solução não trivial se e somente se det(A)=0.
Passo 2
Formamos a matriz de coeficientes e percebemos que ela é triangular superior:
A = 1 & 2 & -1 0 & 3 & 2 0 & 0 & 4
Passo 3
Para qualquer matriz triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Aqui os elementos são 1, 3 e 4, cujo produto é 1cdot3cdot4=12neq0. Logo det(A)neq0, o que implica que A é invertível e o sistema homogêneo só tem a solução trivial.
Passo 4
(Alternativa de raciocínio sem determinante) Olhando as equações em ordem: da terceira vem 4x3=0implies x3=0; então a segunda vira 3x2+2cdot0=0implies x2=0; e finalmente a primeira dá x1+2cdot0-0=0implies x1=0. Novamente só a solução trivial aparece.
Resposta
O sistema não tem soluções não triviais; a única solução é x1=x2=x3=0.