Resolva os sistemas lineares por eliminação gaussiana.
rx1+3 x2+2 x3+3 x4-7 x5=14 2 x1+6 x2+x3-2 x4+5 x5=-2 x1+3 x2-x3+2 x5=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por eliminação gaussiana, o sistema
x1+3x2+2x3+3x4-7x5=14, 2x1+6x2+x3-2x4+5x5=-2, x1+3x2-x3+2x5=-1
O conteúdo aqui é reduzir a matriz aumentada a uma forma triangular, identificar pivôs e variáveis livres, e depois fazer retro-substituição.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e eliminamos x1 das linhas 2 e 3 usando
R2 R2 - 2,R1 e
R3 R3 - R1:
(ccccc|c 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14 2 & 6 & 1 & -2 & 5 & -2 1 & 3 & -1 & 0 & 2 & -1 ) ;longrightarrow; (ccccc|c 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & -30 0 & 0 & -3 & -3 & 9 & -15 )

Passo 3

Eliminamos x3 da nova linha 3 subtraindo a linha 2:
R3 R3 - R2. Isso dá
(ccccc|c 1 & 3 & 2 & 3 & -7 & 14 0 & 0 & -3 & -8 & 19 & -30 0 & 0 & 0 & 5 & -10& 15 )
Da terceira linha temos
5x4-10x5=15 Longrightarrow x4-2x5=3

Passo 4

Da segunda linha temos
-3x3-8x4+19x5=-30 Longrightarrow 3x3+8x4-19x5=30
Substituindo x4=3+2x5 nessa equação,
3x3+8(3+2x5)-19x5=30 ;Longrightarrow; 3x3-3x5=6 ;Longrightarrow; x3-x5=2 ;Longrightarrow; x3=2+x5

Passo 5

Temos duas variáveis livres. Seja
x2=s, x5=t
Então
x3=2+t, x4=3+2t
Para encontrar x1, voltamos à primeira equação:
x1+3x2+2x3+3x4-7x5=14
Substituindo x2=s, x3=2+t, x4=3+2t, x5=t:
x1+3s+2(2+t)+3(3+2t)-7t=14 ;Longrightarrow; x1=1-3s - t

Resposta

boxed x1&=1 -3s - t, x2&=s, x3&=2 + t, x4&=3 +2t, x5&=t, s,tinR

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