Determine, sem fazer uso da Regra do L’hospital, caso existam, os limites indicados abaixo.
[0,5] \lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{2 x^{2}-3 x-5}{(2-x)^{3}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite unilaterial
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{2x^{2}-3x-5}{(2-x)^{3}}.
Informações dadas: a expressão é uma razão entre um polinômio no numerador e (2-x)^{3} no denominador; a aproximação é pela direita de x=2 (isto é, x>2 e x\to2). A tarefa é decidir se o limite existe (é um número finito, \pm\infty ou não existe) e, se existir, encontrar seu valor.

Passo 2

Analisemos o numerador separadamente. Polinômios são funções contínuas, então podemos substituir x=2 diretamente para obter o limite do numerador:
\lim_{x\to2} (2x^{2}-3x-5)=2\cdot 2^{2}-3\cdot 2-5.
Calculemos passo a passo:
2^{2}=4,\quad 2\cdot 4=8,\quad 3\cdot 2=6,
portanto
2\cdot 2^{2}-3\cdot 2-5=8-6-5=-3.
Logo o numerador tende para -3, que é um número finito e diferente de zero.

Passo 3

Agora o denominador. Reescrevemos para facilitar a análise de sinal:
(2-x)^{3}=-(x-2)^{3}.
Como estamos aproximando por x\to 2^{+}, temos x-2>0 e pequeno, então (x-2)^{3}\to 0^{+}. Assim
(2-x)^{3}\to 0^{-},
isto é, o denominador tende para zero pelo lado negativo (toma valores negativos com magnitude decrescente).

Passo 4

Juntando as duas informações: o numerador tende para -3 (negativo e distinto de zero) e o denominador tende para 0^{-} (negativo). O quociente de um número negativo por um número negativo muito pequeno em magnitude é um número positivo de magnitude muito grande. Em termos práticos, para x suficientemente próximo de 2 pela direita, o valor da fração é positivo e cresce sem limite à medida que x se aproxima de 2. Portanto o limite diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados