Determine, sem fazer uso da Regra do L’hospital, caso existam, os limites indicados abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite unilaterial
Informações dadas: a expressão é uma razão entre um polinômio no numerador e
no denominador; a aproximação é pela direita de
(isto é,
e
). A tarefa é decidir se o limite existe (é um número finito,
ou não existe) e, se existir, encontrar seu valor.
Passo 2
Analisemos o numerador separadamente. Polinômios são funções contínuas, então podemos substituir
diretamente para obter o limite do numerador:
Calculemos passo a passo:
portanto
Logo o numerador tende para
, que é um número finito e diferente de zero.
Passo 3
Agora o denominador. Reescrevemos para facilitar a análise de sinal:
Como estamos aproximando por
, temos
e pequeno, então
. Assim
isto é, o denominador tende para zero pelo lado negativo (toma valores negativos com magnitude decrescente).
Passo 4
Juntando as duas informações: o numerador tende para
(negativo e distinto de zero) e o denominador tende para
(negativo). O quociente de um número negativo por um número negativo muito pequeno em magnitude é um número positivo de magnitude muito grande. Em termos práticos, para
suficientemente próximo de
pela direita, o valor da fração é positivo e cresce sem limite à medida que
se aproxima de
. Portanto o limite diverge para
.