Determine os fechos universal e existencial das fórmulas a seguir:
F2=(exists x) p(x, y)

Passo 1

Temos a fórmula original F₂ dada por
F₂ = (exists x)p(x,y).
O conteúdo é lógica de predicados de primeira ordem, e vamos precisar entender o que são fecho universal e fecho existencial: são fórmulas fechadas (sem variáveis livres) obtidas ao quantificar todas as variáveis que sobraram livres em F₂.

Passo 2

Primeiro identificamos as variáveis livres de F₂. Dentro de (exists x)p(x,y), o quantificador exists x já “trava” a variável x, então a única variável que permanece livre é y.

Passo 3

Para obter o fecho universal, colocamos um quantificador universal sobre cada variável livre. Como só temos y livre, prefixamos forall y à fórmula original. Assim chega-se a
(forall y)(exists x)p(x,y)
que não tem mais variáveis livres.

Passo 4

Para obter o fecho existencial, prefixamos um quantificador existencial sobre cada variável livre. De novo, só sobra y, então ficamos com
(exists y)(exists x)p(x,y)
que também está totalmente fechada.

Resposta

Clausura universal: (forall y)(exists x)p(x,y). Clausura existencial: (exists y)(exists x)p(x,y).

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