Determine o fluxo de F através de S, na orientação dada:
F=y i-x j+z^2 k S: z=x^2+y^2, 0 <= z <= 1 com orientação n tal que n cdot k<0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o fluxo do vetor F = y i - x j + z^2 k através da superfície S definida por z = x^2 + y^2, para 0 <= z <= 1. Além disso, a orientação da normal n deve ser tal que n cdot k < 0, ou seja, a normal está apontando para baixo. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de superfície, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanta “quantidade” do campo passa através da superfície. Matematicamente, é representado por:
integral duplaS F cdot n , dS
Aqui, n é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Como nossa superfície S é dada por z = x^2 + y^2, é um paraboloide que se abre para cima e vai do plano z=0 até z=1. Para facilitar os cálculos, vamos parametrizar a superfície usando coordenadas polares, já que a equação tem simetria circular.
Vamos fazer a substituição:
x = r costheta y = r sintheta z = r^2
Onde r varia de 0 a 1 (porque z <= 1) e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal n. Para parametrizar a superfície, usamos r(r, theta) = r costheta i + r sintheta j + r^2 k.
Calculamos as derivadas parciais:
rr = costheta i + sintheta j + 2r k rtheta = -r sintheta i + r costheta j
O vetor normal é o produto vetorial dessas derivadas:
n = rr times rtheta
Vamos calcular esse produto:
n = i & j & k costheta & sintheta & 2r - r sintheta & r costheta & 0
Calculando o determinante, temos:
n = (-2r^2 costheta) i + (-2r^2 sintheta) j + (r) k

Passo 5

Segundo a orientação dada, n cdot k < 0. Observando o componente k do vetor normal que obtivemos, que é r, para que n cdot k < 0, precisamos inverter o sinal do vetor normal. Então, o vetor normal correto é:
n = 2r^2 costheta i + 2r^2 sintheta j - r k

Passo 6

Agora, vamos calcular F cdot n. Substituímos x = r costheta, y = r sintheta e z = r^2 na expressão de F:
F = y i - x j + z^2 k = r sintheta i - r costheta j + r^4 k
Então,
F cdot n = (r sintheta)(2r^2 costheta) + (-r costheta)(2r^2 sintheta) + (r^4)(-r) = 2r^3 sintheta costheta - 2r^3 sintheta costheta - r^5 = -r^5

Passo 7

Agora, montamos a integral para o fluxo:
integral duplaS F cdot n , dS = integral0^2pi integral0^1 (-r^5) cdot Jacobian , dr , dtheta
O Jacobiano para coordenadas polares é r raiz (partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 + 1 = r raiz (2r)^2 + 0 + 1 = r raiz4r^2 + 1, mas para simplificar, como já parametrizamos a superfície e calculamos n, a expressão simplificada para dS é simplesmente r , dr , dtheta. Portanto:
integral duplaS F cdot n , dS = integral0^2pi integral0^1 (-r^5) cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 -r^6 , dr , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral interna em r:
integral0^1 -r^6 , dr = -[ r^77 ]0^1 = -( 17 - 0 ) = -17
Então, a integral fica:
integral0^2pi -17 , dtheta = -17 cdot (2pi - 0) = -2pi7

Resposta

O fluxo de F através de S é -dfrac2pi7.

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