Determine o fluxo de através de , na orientação dada: com orientação tal que ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o fluxo do vetor através da superfície definida por , para . Além disso, a orientação da normal deve ser tal que , ou seja, a normal está apontando para baixo. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de superfície, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanta “quantidade” do campo passa através da superfície. Matematicamente, é representado por:
Aqui, é o vetor normal à superfície .
Passo 3
Como nossa superfície é dada por , é um paraboloide que se abre para cima e vai do plano até . Para facilitar os cálculos, vamos parametrizar a superfície usando coordenadas polares, já que a equação tem simetria circular.
Vamos fazer a substituição:
Onde varia de a (porque ) e varia de a .
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor normal . Para parametrizar a superfície, usamos .
Calculamos as derivadas parciais:
O vetor normal é o produto vetorial dessas derivadas:
Vamos calcular esse produto:
Calculando o determinante, temos:
n = (-2r^2 costheta) i + (-2r^2 sintheta) j + (r) k
Passo 5
Segundo a orientação dada, n cdot k < 0. Observando o componente k do vetor normal que obtivemos, que é r, para que n cdot k < 0, precisamos inverter o sinal do vetor normal. Então, o vetor normal correto é:
n = 2r^2 costheta i + 2r^2 sintheta j - r k
Passo 6
Agora, vamos calcular F cdot n. Substituímos x = r costheta, y = r sintheta e z = r^2 na expressão de F:
F = y i - x j + z^2 k = r sintheta i - r costheta j + r^4 k
integral duplaS F cdot n , dS = integral0^2pi integral0^1 (-r^5) cdot Jacobian , dr , dtheta
O Jacobiano para coordenadas polares é r raiz (partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 + 1 = r raiz (2r)^2 + 0 + 1 = r raiz4r^2 + 1, mas para simplificar, como já parametrizamos a superfície e calculamos n, a expressão simplificada para dS é simplesmente r , dr , dtheta. Portanto:
integral duplaS F cdot n , dS = integral0^2pi integral0^1 (-r^5) cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 -r^6 , dr , dtheta