Determine o fluxo de F através de S, na orientação dada:
F=z e^x y i-3 z e^x y j+x y k e S é o limite da região sólida E delimitada pelo paraboloide z=1-x^2-y^2 e o plano z=0 com orientação n exterior a E;

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F através da superfície fechada S=partial E, onde
vec F = z e^xy,vec i ;-;3z e^xy,vec j ;+;xy,vec k
e E é a região sólida limitada por
z = 1 - x^2 - y^2
acima do plano z=0.
Como S é fechado e queremos a orientação exterior a E, vamos usar o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS = integral triplaEnabla!cdot!vec F,dV

Passo 2

Calcular o divergente de vec F:
nabla!cdot!vec F = partialpartial xl(z e^xyr) + partialpartial yl(-3z e^xyr) + partialpartial zl(xyr)
As derivadas dão
partialpartial x(z e^xy) =zy,e^xy, partialpartial y(-3z e^xy) =-3zx,e^xy, partialpartial z(xy)=0,
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nabla!cdot!vec F = z e^xy,(y - 3x)

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo vale
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS = integral triplaE z e^xy,(y - 3x),dV

Passo 4

Vamos para coordenadas cilíndricas:
x = rcostheta, y = rsintheta, zin[0,,1-r^2], rin[0,1], thetain[0,2pi],
com dV = r,dz,dr,dtheta e xy = r^2costhetasintheta = tfracr^22sin2theta.
Assim o integrando fica
z,e^xy(y-3x),r = z,e^r^22sin2theta,l[r(sintheta-3costheta)r],r = z,e^r^22sin2theta,r^2(sintheta-3costheta)

Passo 5

Integramos primeiro em z:
integral0^1-r^2 z,dz = (1-r^2)^22
Logo
integral triplaE z e^xy(y-3x),dV = integral0^2pi!integral0^1 (1-r^2)^22;e^r^22sin2theta;r^2(sintheta-3costheta),dr,dtheta

Passo 6

Considere a integral angular
integral0^2pi e^r^22sin2theta,sintheta,dtheta e integral0^2pi e^r^22sin2theta,costheta,dtheta
Como e^r^22sin2theta tem período pi em theta, enquanto sintheta e costheta mudam de sinal sob thetamapstotheta+pi, cada uma dessas integrais é zero.
Portanto todo o triplo integral se anula, e o fluxo é

Resposta

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