Determine o fluxo de
através de
, na orientação dada:
e
é o limite da região sólida
delimitada pelo paraboloide
e o plano
com orientação
exterior a
;
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada
, onde
e
é a região sólida limitada por
acima do plano
.
Como é fechado e queremos a orientação exterior a
, vamos usar o Teorema da Divergência (ou Gauss), que diz
Como
Passo 2
Calcular o divergente de
:
As derivadas dão
logo
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo vale
Passo 4
Vamos para coordenadas cilíndricas:
com
e
.
Assim o integrando fica
Assim o integrando fica
Passo 5
Integramos primeiro em
:
Logo
Passo 6
Considere a integral angular
Como
tem período
em
, enquanto
e
mudam de sinal sob
, cada uma dessas integrais é zero.
Portanto todo o triplo integral se anula, e o fluxo é
Portanto todo o triplo integral se anula, e o fluxo é