Determine o fluxo do campo \vec{F}(x, y)=\left(2 x+e^{y^{2}}\right) \vec{i} através da semicircunferência de raio unitário, centrada na origem, acima do eixo O x, ou seja, x^{2}+y^{2}=1 \operatorname{com} y \geq 0, na direção do vetor normal unitário que aponta para fora da curva circunferência.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
\vec{F}(x,y) = \bigl(2x + e^{y^2}\bigr)\,\vec{i}
através da semicircunferência de raio 1 centrada na origem com y\ge0, usando o vetor normal unitário apontando para fora (isto é, para fora do disco). Vamos usar o conceito de fluxo como integral de linha
\Phi = \int_C \vec{F}\cdot\vec{n}\,ds,
onde C é a curva orientada positivamente (neste caso de t=0 a t=\pi).

Passo 2

Parametrizamos a semicircunferência por
\vec{r}(t) = (\cos t,\;\sin t),\quad t\in[0,\pi].
O vetor normal unitário exterior coincide com o vetor radial
\vec{n}(t) = (\cos t,\;\sin t),
e o elemento de comprimento de arco é
ds = \|\vec{r}\,'(t)\|\,dt = dt.

Passo 3

No ponto \vec{r}(t) temos
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr) = \bigl(2\cos t + e^{\sin^2 t},\,0\bigr).
O produto escalar com \vec{n}(t) é
\vec{F}\bigl(\vec{r}(t)\bigr)\cdot\vec{n}(t) = \bigl(2\cos t + e^{\sin^2 t}\bigr)\cos t.

Passo 4

Assim o fluxo fica
\Phi = \int_0^{\pi}\bigl(2\cos t + e^{\sin^2 t}\bigr)\cos t\,dt = 2\int_0^{\pi}\cos^2 t\,dt \;+\;\int_0^{\pi}e^{\sin^2 t}\cos t\,dt.

Passo 5

  1. \displaystyle 2\int_0^{\pi}\cos^2 t\,dt = 2\cdot\frac{\pi}{2} = \pi.
  2. Na integral \displaystyle\int_0^{\pi}e^{\sin^2 t}\cos t\,dt, use u=\sin t, du=\cos t\,dt. Quando t vai de 0 a \pi, u vai de 0 a 0, logo a integral é zero.
Somando temos \Phi = \pi + 0 = \pi.

Resposta

\pi

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