Resolver as integrais definidas a seguir:
\int_{0}{ }^{1} x \cdot \ln (x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x \ln(x+1)\,dx.
O conteúdo aqui é integração por partes, pois temos o produto de uma parte polinomial x e uma parte logarítmica \ln(x+1).

Passo 2

Para aplicar integração por partes, escolhemos
u = \ln(x+1), \quad dv = x\,dx.
Derivar u simplifica o logaritmo e integrar dv é trivial.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = \frac{1}{x+1}\,dx, \qquad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 4

Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
\int_{0}^{1} x \ln(x+1)\,dx = \Bigl[\frac{x^2}{2}\ln(x+1)\Bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x+1}\,dx.
O termo de fronteira é
\Bigl[\frac{x^2}{2}\ln(x+1)\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\ln2 - 0 = \frac{1}{2}\ln2,
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\int_{0}^{1} x \ln(x+1)\,dx = \frac{1}{2}\ln2 - \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{x^2}{x+1}\,dx.

Passo 5

Para a integral restante, fazemos divisão polinomial:
\frac{x^2}{x+1} = x - 1 + \frac{1}{x+1}.
Assim,
\int_{0}^{1}\frac{x^2}{x+1}\,dx = \int_{0}^{1}\bigl(x - 1 + \tfrac{1}{x+1}\bigr)\,dx = \Bigl[\tfrac{x^2}{2} - x + \ln(x+1)\Bigr]_{0}^{1} = \Bigl(\tfrac12 - 1 + \ln2\Bigr) - 0 = -\tfrac{1}{2} + \ln2.

Passo 6

Substituindo em
\displaystyle \int_{0}^{1} x \ln(x+1)\,dx = \tfrac{1}{2}\ln2 - \tfrac{1}{2}\bigl(-\tfrac12 + \ln2\bigr),
obtemos
\int_{0}^{1} x \ln(x+1)\,dx = \frac{1}{2}\ln2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\ln2 = \frac{1}{4}.

Resposta

\tfrac{1}{4}

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