Sendo \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva C^{1} por partes, com imagem contida no conjunto \Omega= \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4, y \geq 0\right\}, tal que \gamma(0)=(\sqrt{2}, 0) e \gamma(1)=(0, \sqrt{2}), calcule o valor da integral:
\int_{\gamma} \frac{-y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy
ao longo de uma curva \gamma que vai de \gamma(0)=(\sqrt{2},0) a \gamma(1)=(0,\sqrt{2}) e está contida em
\Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid1\le x^2+y^2\le4,\;y\ge0\}.
O conteúdo aqui é identificação de um campo conservativo e uso de potencial escalar (no caso, a função argumento de x+iy).

Passo 2

Definimos o campo vetorial
\mathbf F(x,y)=\bigl(P(x,y),Q(x,y)\bigr) =\Bigl(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr).
Em \Omega podemos usar a função
\theta(x,y)=\Arg(x+iy),
cujo gradiente é
\nabla\theta(x,y) =\Bigl(\frac{\partial\theta}{\partial x},\frac{\partial\theta}{\partial y}\Bigr) =\Bigl(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\;\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =\mathbf F(x,y).
Logo \mathbf F é conservativo com potencial \theta.

Passo 3

Por ser conservativo, a integral de linha depende só dos pontos finais:
\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy =\theta\bigl(\gamma(1)\bigr)-\theta\bigl(\gamma(0)\bigr).

Passo 4

Calculamos os argumentos nos extremos:
\gamma(0)=(\sqrt{2},0) \Rightarrow
\theta\bigl(\gamma(0)\bigr) =\Arg(\sqrt{2}+i0)=0.
\gamma(1)=(0,\sqrt{2}) \Rightarrow
\theta\bigl(\gamma(1)\bigr) =\Arg(0+i\sqrt{2})=\frac{\pi}{2}.

Resposta

\int_{\gamma}\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy =\frac{\pi}{2}.

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