Mostre que o conjunto
não é simplesmente conexo. (Sugestão: Exiba um campo vetorial não conservativo
de classe
, com
).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não é simplesmente conexo. Em
, uma forma de fazer isso é exibir um campo vetorial
de classe
em
tal que
mas
não seja conservativo. A existência de tal
implica que
não é simplesmente conexo.
Passo 2
Escolhemos o campo
Claramente
são de classe
em
(onde
).
Passo 3
Vamos calcular
. O componente
de
vale
Como
temos
Logo
Os outros componentes envolvem derivadas de
e dão também zero. Concluímos
Passo 4
Para ver que
Nesse caso
e
Então
Como o integral em um laço fechado é não nulo, (\vec F] não é conservativo.
Passo 5
Encontramos um campo vetorial de classe
em
com
mas não conservativo. Isso só é possível se
não for simplesmente conexo.
Resposta
O conjunto
não é simplesmente conexo.