Mostre que o conjunto \Omega=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; y^{2}+z^{2} \neq 0\right\} não é simplesmente conexo. (Sugestão: Exiba um campo vetorial não conservativo \vec{F}: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{3} de classe C^{1}, com \operatorname{rot} \vec{F}=\overrightarrow{0} ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\Omega = \{(x,y,z)\in\mathbb R^3 \mid y^2+z^2\neq0\}
não é simplesmente conexo. Em \mathbb R^3, uma forma de fazer isso é exibir um campo vetorial \vec F de classe C^1 em \Omega tal que
\operatorname{rot}\vec F = \vec 0
mas \vec F não seja conservativo. A existência de tal \vec F implica que \Omega não é simplesmente conexo.

Passo 2

Escolhemos o campo
\vec F(x,y,z) = \bigl(F_x,F_y,F_z\bigr) = \Bigl(0,\,-\frac{z}{y^2+z^2},\,\frac{y}{y^2+z^2}\Bigr).
Claramente F_x,F_y,F_z são de classe C^1 em \Omega (onde y^2+z^2\neq0).

Passo 3

Vamos calcular \operatorname{rot}\vec F. O componente x de \operatorname{rot}\vec F vale
\bigl(\operatorname{rot}\vec F\bigr)_x = \frac{\partial F_z}{\partial y} \;-\;\frac{\partial F_y}{\partial z}.
Como
F_z = \frac{y}{y^2+z^2},\quad F_y = -\frac{z}{y^2+z^2},
temos
\frac{\partial F_z}{\partial y} = \frac{(y^2+z^2)-2y^2}{(y^2+z^2)^2} =\frac{z^2-y^2}{(y^2+z^2)^2},
\frac{\partial F_y}{\partial z} = -\frac{(y^2+z^2)-2z^2}{(y^2+z^2)^2} =-\frac{y^2 - z^2}{(y^2+z^2)^2} =\frac{z^2-y^2}{(y^2+z^2)^2}.
Logo
\bigl(\operatorname{rot}\vec F\bigr)_x =\frac{z^2-y^2}{(y^2+z^2)^2} -\frac{z^2-y^2}{(y^2+z^2)^2} =0.
Os outros componentes envolvem derivadas de F_x=0 e dão também zero. Concluímos
\operatorname{rot}\vec F = \vec 0.

Passo 4

Para ver que \vec F\) não é conservativo, escolhemos a curva fechada \(C\) em um plano que envolve o eixo \(x\), por exemplo \[C:\quad \begin{cases} x(t)=0,\\\ y(t)=\cos t,\\\ z(t)=\sin t, \end{cases} \quad 0\le t\le2\pi.
Nesse caso
\mathrm d\vec r =\bigl(0,\,-\sin t,\cos t\bigr)\,\mathrm dt,
e
\vec F\bigl(0,\cos t,\sin t\bigr) =\bigl(0,\,-\tfrac{\sin t}{1},\,\tfrac{\cos t}{1}\bigr) =(0,-\sin t,\cos t).
Então
\oint_C \vec F\cdot\mathrm d\vec r =\int_{0}^{2\pi} (0,-\sin t,\cos t)\cdot(0,-\sin t,\cos t)\,\mathrm dt =\int_{0}^{2\pi}(\sin^2 t+\cos^2 t)\,\mathrm dt =\int_{0}^{2\pi}1\,\mathrm dt =2\pi\neq0.
Como o integral em um laço fechado é não nulo, (\vec F] não é conservativo.

Passo 5

Encontramos um campo vetorial de classe C^1 em \Omega com \operatorname{rot}\vec F=\vec0 mas não conservativo. Isso só é possível se \Omega não for simplesmente conexo.

Resposta

O conjunto \Omega não é simplesmente conexo.

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