Determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície exterior do sólido limitado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície externa de um sólido definido por
e
. Isso está relacionado ao estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre fluxo de campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que facilita o cálculo desse fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluxo” que passa por essa superfície. Matematicamente, é expresso por uma integral de superfície:
Onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Calcular essa integral diretamente pode ser complicado, então vamos usar o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss), que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência do campo vetorial no volume limitado por essa superfície:
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é dada por:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 5
Agora, vamos integrar a divergência sobre o volume
definido por
e
. É mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas, onde:
-
-
-
- O elemento de volume é
Os limites de integração são:
-
vai de a (já que ) -
vai de a -
vai de a
Passo 6
Substituindo
em coordenadas cilíndricas:
Então, a integral fica:
Isso se expande para:
Passo 7
Vamos separar a integral em três partes:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 8
Primeira integral:
Integramos em
:
Agora, integramos em
:
Segunda integral:
Integramos em
:
Terceira integral:
Integramos em
:
Passo 9
Agora, somamos os resultados das três integrais:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície externa do sólido dado é
unidades de fluxo.