Determine o fluxo do campo vetorial F=(x^2, y z, 2 z) através da superfície exterior do sólido limitado por x^2+y^2 <= 9,0 <= z <= 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial F = (x^2, y z, 2 z) através da superfície externa de um sólido definido por x^2+y^2 <= 9 e 0 <= z <= 3. Isso está relacionado ao estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre fluxo de campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que facilita o cálculo desse fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluxo” que passa por essa superfície. Matematicamente, é expresso por uma integral de superfície:
integral duplaS F cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Calcular essa integral diretamente pode ser complicado, então vamos usar o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss), que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência do campo vetorial no volume limitado por essa superfície:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partialpartial x(x^2) + partialpartial y(y z) + partialpartial z(2 z)
Calculando cada termo:
  • partialpartial x(x^2) = 2x
  • partialpartial y(y z) = z
  • partialpartial z(2 z) = 2
Então,
nabla cdot F = 2x + z + 2

Passo 5

Agora, vamos integrar a divergência sobre o volume V definido por x^2+y^2 <= 9 e 0 <= z <= 3. É mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas, onde:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
  • O elemento de volume é dV = r , dr , dtheta , dz
Os limites de integração são:
  • r vai de 0 a 3 (já que x^2+y^2 <= 9)
  • theta vai de 0 a 2pi
  • z vai de 0 a 3

Passo 6

Substituindo nabla cdot F em coordenadas cilíndricas:
nabla cdot F = 2x + z + 2 = 2r costheta + z + 2
Então, a integral fica:
integral triplaV (2r costheta + z + 2) , r , dr , dtheta , dz
Isso se expande para:
integral0^3 integral0^2pi integral0^3 (2r costheta + z + 2) , r , dr , dtheta , dz

Passo 7

Vamos separar a integral em três partes:
  1. integral0^3 integral0^2pi integral0^3 2r^2 costheta , dr , dtheta , dz
  2. integral0^3 integral0^2pi integral0^3 z r , dr , dtheta , dz
  3. integral0^3 integral0^2pi integral0^3 2r , dr , dtheta , dz
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 8

Primeira integral:
integral0^3 integral0^2pi integral0^3 2r^2 costheta , dr , dtheta , dz
Integramos em r:
2 integral0^3 costheta [ r^33 ]0^3 dtheta = 2 integral0^3 costheta ( 273 ) dtheta = 18 integral0^3 costheta , dtheta
Agora, integramos em theta:
18 [sintheta]0^2pi = 18 (0 - 0) = 0
Segunda integral:
integral0^3 integral0^2pi integral0^3 z r , dr , dtheta , dz
Integramos em r:
integral0^3 integral0^2pi [ z r^22 ]0^3 dtheta , dz = integral0^3 integral0^2pi 9z2 dtheta , dz = 92 integral0^3 z [ theta ]0^2pi dz = 92 times 2pi integral0^3 z , dz = 9pi [ z^22 ]0^3 = 9pi times 92 = 81pi2
Terceira integral:
integral0^3 integral0^2pi integral0^3 2r , dr , dtheta , dz
Integramos em r:
2 integral0^3 integral0^2pi [ r^22 ]0^3 dtheta , dz = 2 integral0^3 integral0^2pi 92 dtheta , dz = 9 integral0^3 [ theta ]0^2pi dz = 9 times 2pi integral0^3 dz = 18pi times 3 = 54pi

Passo 9

Agora, somamos os resultados das três integrais:
0 + 81pi2 + 54pi = 81pi2 + 108pi2 = 189pi2

Resposta

O fluxo do campo vetorial F = (x^2, y z, 2 z) através da superfície externa do sólido dado é 189pi2 unidades de fluxo.

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