Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
sendo
a circunferência parametrizada por
sen
, para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teorema de Stokes para calcular uma integral de linha.
O que é o Teorema de Stokes? Basicamente, ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada
com uma integral de superfície sobre uma superfície
que tem
como contorno. Ou seja:
O que precisamos para resolver:
- Identificar o campo vetorial
. - Calcular o rotacional (
). - Escolher uma superfície
com contorno . - Encontrar o vetor normal
à superfície. - Calcular a integral de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial
dado na integral de linha:
Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
, que é
. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Então, o rotacional é:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
que tenha a curva
como contorno. Olhando para a parametrização de
:
Essa curva está localizada em 3D, mas podemos simplificar escolhendo a projeção dela no plano
como nossa superfície
. Então, vamos considerar
como o disco no plano
, mas para facilitar, vamos usar a projeção no plano
onde
será constante.
Passo 5
Precisamos encontrar o vetor normal
à superfície
. Como escolhemos
no plano
, o vetor normal é simplesmente na direção do eixo
:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral de superfície usando o rotacional que calculamos e o vetor normal:
Fazendo o produto escalar:
Passo 7
Como escolhemos
no plano
,
é constante nessa superfície. Da parametrização de
, vemos que
. Porém, para manter
constante na superfície, vamos considerá-lo como
(o ponto médio da parametrização).
Assim, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos converter essa integral para coordenadas polares, já que a projeção de
no plano
é um círculo de raio 2. Em coordenadas polares:
Os limites serão
de 0 a 2 e
de 0 a
.
Substituindo na integral:
Passo 9
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, expanda o integrando:
Integre em relação a
:
Simplificando:
Sabemos que:
Então:
Resposta
A integral de linha calculada pelo Teorema de Stokes é: