Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
ointC(2 y^3 d x+x z^2 d y+z^3 d z)
sendo C a circunferência parametrizada por x=2 cos t, y=2 sen t, z=1+cos t, para 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar o Teorema de Stokes para calcular uma integral de linha.
O que é o Teorema de Stokes? Basicamente, ele relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada C com uma integral de superfície sobre uma superfície S que tem C como contorno. Ou seja:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
O que precisamos para resolver:
  1. Identificar o campo vetorial F .
  2. Calcular o rotacional ( nabla times F ).
  3. Escolher uma superfície S com contorno C .
  4. Encontrar o vetor normal n à superfície.
  5. Calcular a integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F dado na integral de linha:
F = (2 y^3, x z^2, z^3)
Ou seja:
Fx = 2y^3, Fy = x z^2, Fz = z^3

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de F , que é nabla times F . O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partial z^3partial y - partial (x z^2)partial z = 0 - 2x z = -2x z
  1. Segunda componente:
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partial (2 y^3)partial z - partial z^3partial x = 0 - 0 = 0
  1. Terceira componente:
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partial (x z^2)partial x - partial (2 y^3)partial y = z^2 - 6 y^2
Então, o rotacional é:
nabla times F = (-2x z, 0, z^2 - 6 y^2)

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície S que tenha a curva C como contorno. Olhando para a parametrização de C :
x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 1 + cos t, 0 <= t <= 2pi
Essa curva está localizada em 3D, mas podemos simplificar escolhendo a projeção dela no plano xy como nossa superfície S . Então, vamos considerar S como o disco no plano z = 1 + cos t , mas para facilitar, vamos usar a projeção no plano xy onde z será constante.

Passo 5

Precisamos encontrar o vetor normal n à superfície S . Como escolhemos S no plano xy , o vetor normal é simplesmente na direção do eixo z :
n = (0, 0, 1)

Passo 6

Agora, vamos montar a integral de superfície usando o rotacional que calculamos e o vetor normal:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (-2x z, 0, z^2 - 6 y^2) cdot (0, 0, 1) , dS
Fazendo o produto escalar:
= integral duplaS ( -2x z cdot 0 + 0 cdot 0 + (z^2 - 6 y^2) cdot 1 ) , dS = integral duplaS (z^2 - 6 y^2) , dS

Passo 7

Como escolhemos S no plano xy , z é constante nessa superfície. Da parametrização de C , vemos que z = 1 + cos t . Porém, para manter z constante na superfície, vamos considerá-lo como z = 1 (o ponto médio da parametrização).
Assim, a integral fica:
integral duplaS (1^2 - 6 y^2) , dS = integral duplaS (1 - 6 y^2) , dS

Passo 8

Agora, vamos converter essa integral para coordenadas polares, já que a projeção de C no plano xy é um círculo de raio 2. Em coordenadas polares:
x = r cos theta, y = r sin theta, dS = r , dr , dtheta
Os limites serão r de 0 a 2 e theta de 0 a 2pi .
Substituindo na integral:
integral0^2pi integral0^2 (1 - 6 (r sin theta)^2) r , dr , dtheta

Passo 9

Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, expanda o integrando:
integral0^2pi integral0^2 (r - 6 r^3 sin^2 theta) , dr , dtheta
Integre em relação a r :
integral0^2pi [ 12 r^2 - 64 r^4 sin^2 theta ]0^2 dtheta = integral0^2pi ( 12 (4) - 64 (16) sin^2 theta ) dtheta = integral0^2pi ( 2 - 24 sin^2 theta ) dtheta
Simplificando:
integral0^2pi 2 , dtheta - 24 integral0^2pi sin^2 theta , dtheta
Sabemos que:
integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi
Então:
2 cdot 2pi - 24 cdot pi = 4pi - 24pi = -20pi

Resposta

A integral de linha calculada pelo Teorema de Stokes é:
-20pi

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