Parametrize a parte da esfera x^2+y^2+z^2=4 que está abaixo do plano z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para parametrizar a parte da esfera definida por x^2 + y^2 + z^2 = 4 que está abaixo do plano z = 1 . Isso envolve conceitos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e parametrizações. Vamos precisar usar coordenadas esféricas para facilitar a descrição dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a esfera que temos. A equação x^2 + y^2 + z^2 = 4 representa uma esfera com centro na origem (0,0,0) e raio 2, já que raiz4 = 2 .

Passo 3

Agora, o plano z = 1 corta a esfera. Queremos a parte da esfera que está abaixo desse plano. Para visualizar, imagine a esfera cortada horizontalmente no ponto onde z = 1 .

Passo 4

Para parametrizar essa região, vamos usar coordenadas esféricas, onde qualquer ponto na esfera pode ser representado por:
x = r sin(phi) cos(theta)
y = r sin(phi) sin(theta)
z = r cos(phi)
Aqui, r é o raio da esfera, phi é o ângulo polar (medido do eixo z), e theta é o ângulo azimutal (ao redor do eixo z).

Passo 5

Sabemos que o raio r = 2 (da equação da esfera). Queremos a parte abaixo de z = 1 , então vamos encontrar o ângulo phi correspondente a esse corte. Substituindo z = 1 na equação da esfera:
1 = 2 cos(phi)
cos(phi) = 12
phi = arccos(12) = pi3
Então, phi vai de pi3 até pi para cobrir a parte abaixo do plano.

Passo 6

Agora, juntando tudo, a parametrização da parte da esfera abaixo do plano z = 1 fica:
x = 2 sin(phi) cos(theta)
y = 2 sin(phi) sin(theta)
z = 2 cos(phi)
Onde:
pi3 <= phi <= pi
0 <= theta < 2pi

Resposta

A parametrização desejada é:
x = 2 sin(phi) cos(theta) y = 2 sin(phi) sin(theta) z = 2 cos(phi)
com:
pi3 <= phi <= pi e 0 <= theta < 2pi

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