Parametrize a parte da esfera
que está abaixo do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para parametrizar a parte da esfera definida por
que está abaixo do plano
. Isso envolve conceitos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e parametrizações. Vamos precisar usar coordenadas esféricas para facilitar a descrição dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a esfera que temos. A equação
representa uma esfera com centro na origem (0,0,0) e raio 2, já que
.
Passo 3
Agora, o plano
corta a esfera. Queremos a parte da esfera que está abaixo desse plano. Para visualizar, imagine a esfera cortada horizontalmente no ponto onde
.
Passo 4
Para parametrizar essa região, vamos usar coordenadas esféricas, onde qualquer ponto na esfera pode ser representado por:
Aqui,
é o raio da esfera,
é o ângulo polar (medido do eixo z), e
é o ângulo azimutal (ao redor do eixo z).
Passo 5
Sabemos que o raio
(da equação da esfera). Queremos a parte abaixo de
, então vamos encontrar o ângulo
correspondente a esse corte. Substituindo
na equação da esfera:
Então,
vai de
até
para cobrir a parte abaixo do plano.
Passo 6
Agora, juntando tudo, a parametrização da parte da esfera abaixo do plano
fica:
Onde:
Resposta
A parametrização desejada é:
com: