Determine o fluxo térmico e a grandeza desconhecida em cada caso e esboce a distribuição de temperaturas, indicando o sentido do fluxo térmico.
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline Caso & T_{1}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) & T_{2}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) & \boldsymbol{d} \boldsymbol{T} \boldsymbol{/} \boldsymbol{d} \boldsymbol{x} \boldsymbol{(} \boldsymbol{(} \mathbf{K} \boldsymbol{/} \mathbf{m} \boldsymbol{)} \
\hline 1 & 50 & -20 & \
\hline 2 & -30 & -10 & \
\hline 3 & 70 & & 160 \
\hline 4 & & 40 & -80 \
\hline 5 & & 30 & 200 \
\hline

Passo 1

O enunciado trata de condução de calor unidimensional em regime estacionário entre duas faces separadas por L=1\:\mathrm{m}. As temperaturas nas faces são \,T_{1} e \,T_{2} e a lei de Fourier diz que o fluxo de calor por área é
q=-k\,\frac{dT}{dx},
onde, para simplificar, tomamos k=1\:\mathrm{W/(m\;K)} e área unitária. Nosso objetivo em cada caso é:
  1. Calcular a quantidade desconhecida (ou seja, \,dT/dx quando faltar ou T_{1}/ T_{2} quando faltar).
  2. Calcular q.
  3. Descrever qualitativamente o esboço da distribuição de temperatura (reta de (0,T_{1}) a (1,T_{2})) e indicar o sentido do fluxo (seta do quente para o frio).

Passo 2

Caso 1: T_{1}=50^\circ\mathrm{C}, T_{2}=-20^\circ\mathrm{C}.
O gradiente é
\frac{dT}{dx}=\frac{T_{2}-T_{1}}{1}=\frac{-20-50}{1}=-70\:\mathrm{K/m}.
O fluxo vale
q=-1\times(-70)=70\:\mathrm{W/m^2},
isto é, flui do lado T_{1} (mais quente) para T_{2}. A curva T(x) é uma reta decrescente de 50 até -20.

Passo 3

Caso 2: T_{1}=-30^\circ\mathrm{C}, T_{2}=-10^\circ\mathrm{C}.
\frac{dT}{dx}=\frac{-10-(-30)}{1}=20\:\mathrm{K/m},
q=-1\times20=-20\:\mathrm{W/m^2},
ou seja, sinal negativo indica fluxo da face T_{2} (mais quente, -10) para T_{1}. A reta sobe de -30 a -10.

Passo 4

Caso 3: T_{1}=70^\circ\mathrm{C}, \,dT/dx=160\:\mathrm{K/m}.
Da definição do gradiente em L=1:
T_{2}=T_{1}+\frac{dT}{dx}\cdot1=70+160=230^\circ\mathrm{C}.
O fluxo é
q=-1\times160=-160\:\mathrm{W/m^2},
isto é, flui de T_{2} (230) para T_{1} (70). A reta cresce bastante.

Passo 5

Caso 4: T_{2}=40^\circ\mathrm{C}, \,dT/dx=-80\:\mathrm{K/m}.
T_{1}=T_{2}-\frac{dT}{dx}\cdot1=40-(-80)=120^\circ\mathrm{C}.
q=-1\times(-80)=80\:\mathrm{W/m^2},
fluxo de T_{1} (120) para T_{2}.

Passo 6

Caso 5: T_{2}=30^\circ\mathrm{C}, \,dT/dx=200\:\mathrm{K/m}.
T_{1}=T_{2}-\frac{dT}{dx}\cdot1=30-200=-170^\circ\mathrm{C},
q=-1\times200=-200\:\mathrm{W/m^2},
fluxo de T_{2} (30) para T_{1} (−170).

Resposta

Caso 1: \displaystyle\frac{dT}{dx}=-70\:\mathrm{K/m}, \;q=70\:\mathrm{W/m^2}. Temperatura decresce linearmente de 50 a -20, fluxo da esquerda para a direita.
Caso 2: \displaystyle\frac{dT}{dx}=20\:\mathrm{K/m}, \;q=-20\:\mathrm{W/m^2}. Temperatura cresce de -30 a -10, fluxo da direita para a esquerda.
Caso 3: \;T_{2}=230^\circ\mathrm{C}, \;q=-160\:\mathrm{W/m^2}. Temperatura cresce de 70 a 230, fluxo da direita para a esquerda.
Caso 4: \;T_{1}=120^\circ\mathrm{C}, \;q=80\:\mathrm{W/m^2}. Temperatura decresce de 120 a 40, fluxo da esquerda para a direita.
Caso 5: \;T_{1}=-170^\circ\mathrm{C}, \;q=-200\:\mathrm{W/m^2}. Temperatura cresce de -170 a 30, fluxo da direita para a esquerda.

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