( 1,5 pontos) O lucro marginal de uma empresa para um determinado item é dada pela equação L^{\prime}(x)= 20-0,6 x^{2}, em que x é o número de itens vendidos. O lucro quando dois itens são vendidos é de R \ 4,20$. Encontre a equação do lucro total e calcule qual é o lucro quando 4 itens são vendidos?

Passo 1

O enunciado nos dá o lucro marginal L'(x)=20-0,6x^{2}, em que x é o número de itens vendidos. Queremos (i) encontrar a função lucro total L(x) integrando L'(x) e usando a condição L(2)= R$ 4,20 para determinar a constante de integração, e (ii) calcular o lucro para x=4.

Passo 2

Integramos
L(x)=\int\bigl(20 - 0,6x^{2}\bigr)\,dx =20x - 0,6\,\frac{x^{3}}{3} + C =20x - 0,2\,x^{3} + C.

Passo 3

Usamos a condição L(2)=4{,}20. Substituindo x=2:
L(2)=20\cdot2 - 0,2\cdot2^{3} + C =40 - 0,2\cdot8 + C =40 - 1,60 + C =38,40 + C.
Como isso deve ser 4{,}20, temos
38,40 + C =4{,}20 \quad\Longrightarrow\quad C =4{,}20 - 38,40 = -34{,}20.

Passo 4

Aí a fórmula do lucro total fica
L(x)=20x - 0,2\,x^{3} - 34{,}20.

Passo 5

Para x=4,
L(4)=20\cdot4 - 0,2\cdot4^{3} - 34{,}20 =80 - 0,2\cdot64 - 34{,}20 =80 - 12,80 - 34{,}20 =33{,}00.

Resposta

A equação do lucro total é
L(x)=20x - 0,2\,x^{3} - 34{,}20
e o lucro quando são vendidos 4 itens é R$ 33,00.

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