Determine os focos, os vértices e o eixo da hipérbole cuja equação é
(y-k)^2b^2-(x-h)^2a^2=1

Passo 1

O enunciado nos dá a hipérbole na forma canônica
(y-k)^2b^2 ;-;(x-h)^2a^2 ;=;1
Aqui o centro é (h,k) e a hipérbole abre ao longo de uma reta vertical. Vamos usar a relação
c^2 ;=; a^2+b^2
para determinar os focos.

Passo 2

Identificamos a orientação e os parâmetros:
  • Centro: (h,k).
  • Semi-eixo “transversal” (distância entre centro e vértices): b.
  • Semi-eixo “conjugado”: a.
  • Distância focal: c=raiza^2+b^2.

Passo 3

Os vértices são os pontos onde a hipérbole cruza seu eixo transversal. Como o eixo é vertical, variamos y em torno de k por pm b, mantendo x=h. Logo os vértices são
l(h,;k+br) e l(h,;k-br)

Passo 4

Os focos estão situados no mesmo eixo transversal, a uma distância c do centro. Assim, os focos são
l(h,;k+cr) e l(h,;k-cr),
onde c=raiza^2+b^2.

Passo 5

O eixo da hipérbole (eixo transversal) é a reta vertical que passa pelo centro (h,k). Portanto, sua equação é
x = h

Resposta

Focos: l(h,kpm cr) com c=raiza^2+b^2.
Vértices: l(h,kpm br).
Eixo (transversal): x = h.

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