Verifique quais das equações abaixo definem superfícies esféricas e determine o centro e o raio daquelas que o forem.
x^2+y^2+z^2+a z=0, a>0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
x^2+y^2+z^2+a,z=0, a>0,
é equação de esfera e, em caso afirmativo, achar seu centro e raio. Para isso vamos completar o quadrado no termo que envolve z.

Passo 2

Agrupamos o termo em z e completamos o quadrado:
z^2+a,z = l(z + tfraca2r)^2 - tfraca^24
Substituindo na equação original,
x^2+y^2+l(z + tfraca2r)^2 - tfraca^24 = 0
é equivalente a
x^2+y^2+l(z + tfraca2r)^2 = tfraca^24

Passo 3

A forma
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = R^2
é a equação de esfera de centro (x0,y0,z0) e raio R. Comparando, vemos que
x0=0, y0=0, z0=-tfraca2, R=tfraca2

Resposta

A equação define uma esfera de centro l(0,0,-tfraca2r) e raio tfraca2.

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