Determine, quando for possível, o valor de n se:
A(n, 2)=72

Passo 1

O enunciado pede para encontrar n tal que
A(n,2)=72,
sabendo que A(n,k) é o número de arranjos de n elementos tomados de k em k, dado por
A(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}.

Passo 2

Para k=2, temos
A(n,2)=\frac{n!}{(n-2)!}=n\,(n-1).

Passo 3

Igualando a 72, obtemos a equação
n\,(n-1)=72.
Isso leva ao polinômio
n^2 - n - 72 = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática, o discriminante é
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-72)=1+288=289,
\sqrt{\Delta}=17.
Logo as raízes são
n=\frac{1\pm17}{2},
isto é, n=9 ou n=-8.

Passo 5

Como n deve ser inteiro não negativo e pelo menos igual a 2, descartamos n=-8.

Resposta

n = 9

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