Determine, quando for possível, o valor de n se:
4 \cdot A(n, 2)=A(2 n, 3)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar n tal que
4\cdot A(n,2) \;=\; A(2n,3),
onde A(n,k) é o número de arranjos de n elementos tomados k a k. Vamos usar a definição
A(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}.

Passo 2

Escrevendo cada arranjo em termos de fatoriais, temos
A(n,2)=\frac{n!}{(n-2)!}, \qquad A(2n,3)=\frac{(2n)!}{(2n-3)!}.

Passo 3

Substituindo na equação dada, obtemos
4\;\frac{n!}{(n-2)!} \;=\; \frac{(2n)!}{(2n-3)!}.

Passo 4

Reconhecendo que
\frac{n!}{(n-2)!}=n\,(n-1), \qquad \frac{(2n)!}{(2n-3)!}=2n\,(2n-1)\,(2n-2),
a igualdade vira
4\,n(n-1) = 2n\,(2n-1)\,(2n-2).
Como n\neq0, podemos dividir ambos os lados por 2n, ficando
2(n-1)=(2n-1)(2n-2).

Passo 5

Expandindo o lado direito e reorganizando:
2n-2 = (2n-1)(2n-2) \;\Longrightarrow\; (2n-2)\bigl[(2n-1)-1\bigr]=0 \;\Longrightarrow\; (2n-2)^2=0 \;\Longrightarrow\; n=1.
Porém, para A(n,2) fazer sentido precisamos de n\ge2. O valor n=1 está fora do domínio de definição de A(n,2).

Resposta

Não existe valor natural de n (com n\ge2) que satisfaça a igualdade.

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