Determine a força em cada elemento da treliça e indique se esses elementos estão sob tração ou compressão. Considere que P1=500 lb e \mathrm{P} 2=1.500 \mathrm{lb}. (Hibbeler \mathbf{1 0}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{e d}, pag 231).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a força em cada elemento da treliça e indicar se cada elemento está sob tração (T) ou compressão (C).
Informações dadas (extraídas da figura):
  • Forças concentradas verticais: \,P_1=500\\ \text{lb} atuando em B (para baixo) e \,P_2=1500\\ \text{lb} atuando em C (para baixo).
  • Apoios: apoio em A é articulado (pino) e em D é rolete (apenas reação vertical).
  • Geometria (peguei estes comprimentos da figura):
    • Pontos na linha de base: A, B, C, D com espaçamento \;AB=BC=CD=10\\ \text{ft}.
    • Pontos no topo: G sobre B (verticalmente acima de B), E sobre C (verticalmente acima de C).
    • Altura do topo: GB=EC=10\\ \text{ft}.
  • Membros: temos a barra inferior AB, BC, CD, as verticais BG, CE, o topo GE, e os diagonais AG,\;GC,\;ED (conforme a figura).
  • Objetivo: calcular a força em cada membro: AB,BC,CD,BG,CE,GE,AG,GC,ED e dizer T ou C.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as reações nos apoios (estática global). Vou chamar as reações verticais \,R_A em A (vertical) e \,R_D em D. Não há forças horizontais externas, portanto a reação horizontal em A é zero.
Equilíbrio vertical (soma das forças verticais = 0):
R_A + R_D - P_1 - P_2 = 0.
Equilíbrio de momentos em relação a A (soma dos momentos = 0) para eliminar R_A. Tomando momento positivo no sentido anti-horário:
R_D\cdot 30 - P_1\cdot 10 - P_2\cdot 20 = 0,
pois D está a 30\\ \text{ft} de A, B a 10\\ \text{ft} e C a 20\\ \text{ft}.
Resolvo para R_D:
R_D = \dfrac{P_1\cdot 10 + P_2\cdot 20}{30} = \dfrac{500\cdot 10 + 1500\cdot 20}{30} = \dfrac{35000}{30} = \dfrac{3500}{3}\\ \text{lb}.
Agora R_A:
R_A = P_1 + P_2 - R_D = 2000 - \dfrac{3500}{3} = \dfrac{2500}{3}\\ \text{lb}.
Numericamente:
R_D \approx 1166{,}667\\ \text{lb},\qquad R_A \approx 833{,}333\\ \text{lb}.
Breve explicação didática: escolhi momento em A porque assim elimino a reação R_A e encontro R_D diretamente. Em problemas de treliça sempre começar pelas reações de apoio.

Passo 3

Método de resolução da treliça: vou usar o método dos nós (method of joints). Ideia-chave:
  • Cada nó (junção) é um ponto onde a soma das forças horizontais e verticais é zero.
  • Para cada membro ligado ao nó, decomponho sua força em componentes horizontal e vertical.
  • Adoto a convenção: força positiva significa tração (o membro puxa o nó em direção ao membro). Se a solução vier negativa, o membro está em compressão.
Observação prática sobre geometria:
  • As barras diagonais entre pontos separados por 10\\ \text{ft} horizontal e 10\\ \text{ft} vertical têm inclinação 45^\circ. Logo para um membro inclinado a 45^\circ:
    • componente horizontal = \dfrac{F}{\sqrt{2}},
    • componente vertical = \dfrac{F}{\sqrt{2}}.
Vou começar pelos nós que têm poucos membros desconhecidos: A (apenas AB e AG além da reação) e B (apenas AB,BC,BG), depois D (apenas CD,ED mais a reação), e assim por diante — esse é um caminho comum porque evita sistemas com muitas incógnitas simultâneas.

Passo 4

Equilíbrio no nó A (coordenadas (0,0)). Membros conectados: AB (horizontal para a direita) e AG (diagonal para cima-direita). Reação vertical R_A atua para cima.
Equações de equilíbrio no nó A:
  • Soma das forças horizontais ( x): \;F_{AB} + F_{AG}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = 0.
  • Soma das forças verticais ( y): \;R_A + F_{AG}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = 0.
Da equação vertical:
F_{AG}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = -R_A \quad\Rightarrow\quad F_{AG} = -R_A\sqrt{2}.
Substituo R_A=\dfrac{2500}{3}:
F_{AG} = -\dfrac{2500}{3}\sqrt{2} = -\dfrac{2500\sqrt{2}}{3}\\ \text{lb}\approx -1178{,}51\\ \text{lb}.
O sinal negativo indica que, ao contrário da hipótese (tração), AG está em compressão. Magnitude \approx 1178{,}51\\ \text{lb} (compressão).
Agora a equação horizontal dá F_{AB}:
F_{AB} = -F_{AG}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = -\Big(-\dfrac{2500\sqrt{2}}{3}\Big)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{2500}{3}\\ \text{lb}\approx 833{,}333\\ \text{lb}.
Sinal positivo indica tração em AB.
Didática rápida: note que a componente vertical do AG equilibra exatamente a reação R_A. Por isso os números ficam simples em frações.

Passo 5

Equilíbrio no nó B (coordenada (10,0)). Ligações: AB (já conhecida), BC (horizontal à direita), BG (vertical para cima). Força externa P_1=500\\ \text{lb} para baixo.
Equações:
  • Soma das forças horizontais: \;-F_{AB} + F_{BC} = 0. (sinal: F_{AB} puxa B para a esquerda se em tração).
  • Soma das forças verticais: \;F_{BG} - P_1 = 0.
Substituindo F_{AB}=\dfrac{2500}{3}:
F_{BC} = F_{AB} = \dfrac{2500}{3}\\ \text{lb}\approx 833{,}333\\ \text{lb} \quad(\text{tração}).çã
E
F_{BG} = P_1 = 500\\ \text{lb}\quad(\text{tração}).çã
Comentário didático: nó com duas incógnitas (aqui uma já conhecida) resulta em equações diretas; a vertical do BG simplesmente equilíbrio do carregamento P_1.

Passo 6

Equilíbrio no nó D (coordenada (30,0)). Ligações: CD (horizontal para a esquerda), ED (diagonal que sobe e vai para a esquerda), e a reação R_D para cima conhecida.
Assumo tensões positivas (tração) nas barras; escreverei as equações de equilíbrio com os sinais coerentes (e os sinais finais indicarão T/C).
Soma das forças horizontais (escolho positivo para a direita):
- F_{CD} - \dfrac{F_{ED}}{\sqrt{2}} = 0.
Soma das forças verticais (para cima positivo):
R_D + \dfrac{F_{ED}}{\sqrt{2}} = 0.
Da segunda equação:
\dfrac{F_{ED}}{\sqrt{2}} = -R_D \quad\Rightarrow\quad F_{ED} = -R_D\sqrt{2} = -\dfrac{3500\sqrt{2}}{3}\\ \text{lb}\approx -1650{,}884\\ \text{lb}.
Sinal negativo: ED está em compressão. Magnitude \dfrac{3500\sqrt{2}}{3}.
Da primeira equação:
F_{CD} = -\dfrac{F_{ED}}{\sqrt{2}} = -\Big(-\dfrac{3500\sqrt{2}}{3}\Big)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{3500}{3}\\ \text{lb}\approx 1166{,}667\\ \text{lb}.
Sinal positivo indica tração em CD.
Didática: quando a reação vertical em D é conhecida, a componente vertical do diagonal ED tem que equilibrar essa reação, daí resultado direto.

Passo 7

Equilíbrio no nó C (coordenada (20,0)). Ligações: BC (conhecido), CD (conhecido), CE (vertical), GC (diagonal). Força externa P_2=1500\\ \text{lb} para baixo.
Equações:
  • Soma horizontal (direita positiva):
F_{CD} - F_{BC} - \dfrac{F_{GC}}{\sqrt{2}} = 0.
  • Soma vertical (para cima positivo):
F_{CE} + \dfrac{F_{GC}}{\sqrt{2}} - P_2 = 0.
Substituo F_{CD}=\dfrac{3500}{3} e F_{BC}=\dfrac{2500}{3}. Então da equação horizontal:
\dfrac{3500}{3} - \dfrac{2500}{3} - \dfrac{F_{GC}}{\sqrt{2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{1000}{3} - \dfrac{F_{GC}}{\sqrt{2}} = 0.
Logo
\dfrac{F_{GC}}{\sqrt{2}} = \dfrac{1000}{3} \quad\Rightarrow\quad F_{GC} = \dfrac{1000\sqrt{2}}{3}\\ \text{lb}\approx 471{,}405\\ \text{lb}.
Sinal positivo: GC em tração.
Agora a equação vertical:
F_{CE} + \dfrac{1000}{3} - 1500 = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{CE} = 1500 - \dfrac{1000}{3} = \dfrac{3500}{3}\\ \text{lb}\approx 1166{,}667\\ \text{lb}.
Sinal positivo indica tração em CE.
Comentário: observe que \dfrac{F_{GC}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1000}{3} apareceu naturalmente por diferença das forças horizontais no nó C.

Passo 8

Verificação e equilíbrio no nó G (coord. (10,10)) para encontrar F_{GE} (se ainda faltasse) e checar consistência. Ligações: AG, GC, GB, GE.
Equilíbrio das componentes horizontal e vertical:
Componentes horizontais (direita positiva):
F_{GE} + F_{GA}\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) + F_{GC}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) = 0.
Aqui uso F_{GA} para a mesma grandeza de F_{AG} (mesma barra), e anteriormente obtivemos F_{AG}=-\dfrac{2500\sqrt{2}}{3}. No nosso sistema de sinais F_{GA}=F_{AG} (mesmo número). Substituindo números:
F_{GE} - \dfrac{F_{AG}}{\sqrt{2}} + \dfrac{F_{GC}}{\sqrt{2}} = 0.
Usando os valores:
F_{AG} = -\dfrac{2500\sqrt{2}}{3},\quad F_{GC}=\dfrac{1000\sqrt{2}}{3}.
Logo
F_{GE} - \dfrac{-\tfrac{2500\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{2}} + \dfrac{\tfrac{1000\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{2}} = 0
F_{GE} + \dfrac{2500}{3} - \dfrac{1000}{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{GE} + \dfrac{1500}{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{GE} = -\dfrac{3500}{3}\\ \text{lb}.
Numérico: F_{GE}\approx -1166{,}667\\ \text{lb}. Sinal negativo indica compressão em GE. (A conta mostra também que a soma das componentes verticais se fecha corretamente.)
Breve checagem vertical (deve dar zero): usando componentes verticais de AG,GC,BG e sabendo F_{GE} não tem componente vertical, confirma equilíbrio.

Passo 9

Resumo dos resultados (interpretação: positivo = tração, negativo = compressão). Vou apresentar cada membro com valor (e indicação T/C) em forma clara.
Anotações exatas (formas fracionárias convenientes) e aproximações decimais:
  • F_{AB} = \dfrac{2500}{3}\\ \text{lb}\approx 833{,}333\\ \text{lb} — tração (T).
  • F_{BC} = \dfrac{2500}{3}\\ \text{lb}\approx 833{,}333\\ \text{lb} — tração (T).
  • F_{CD} = \dfrac{3500}{3}\\ \text{lb}\approx 1166{,}667\\ \text{lb} — tração (T).
  • F_{BG} = 500\\ \text{lb} — tração (T).
  • F_{CE} = \dfrac{3500}{3}\\ \text{lb}\approx 1166{,}667\\ \text{lb} — tração (T).
  • F_{AG} = -\dfrac{2500\sqrt{2}}{3}\\ \text{lb}\approx -1178{,}511\\ \text{lb} — compressão (C).
  • F_{GC} = \dfrac{1000\sqrt{2}}{3}\\ \text{lb}\approx 471{,}405\\ \text{lb} — tração (T).
  • F_{GE} = -\dfrac{3500}{3}\\ \text{lb}\approx -1166{,}667\\ \text{lb} — compressão (C).
  • F_{ED} = -\dfrac{3500\sqrt{2}}{3}\\ \text{lb}\approx -1650{,}884\\ \text{lb} — compressão (C).
Didática final: perceba o padrão — as verticais suportam diretamente os carregamentos verticais; as barras inferiores transmitem esforços horizontais; os membros inclinados transmitem tanto horizontais quanto verticais. Usar nós com poucos incógnitos facilita muito. Se precisar, dá pra desenhar vetores em cada nó para “ver” se o membro puxa ou empurra.

Resposta

F_{AB}=\dfrac{2500}{3}\\ \text{lb}\approx 833{,}333\\ \text{lb} (T)
F_{BC}=\dfrac{2500}{3}\\ \text{lb}\approx 833{,}333\\ \text{lb} (T)
F_{CD}=\dfrac{3500}{3}\\ \text{lb}\approx 1166{,}667\\ \text{lb} (T)
F_{BG}=500\\ \text{lb} (T)
F_{CE}=\dfrac{3500}{3}\\ \text{lb}\approx 1166{,}667\\ \text{lb} (T)
F_{AG}=-\dfrac{2500\sqrt{2}}{3}\\ \text{lb}\approx -1178{,}511\\ \text{lb} (C)
F_{GC}=\dfrac{1000\sqrt{2}}{3}\\ \text{lb}\approx 471{,}405\\ \text{lb} (T)
F_{GE}=-\dfrac{3500}{3}\\ \text{lb}\approx -1166{,}667\\ \text{lb} (C)
F_{ED}=-\dfrac{3500\sqrt{2}}{3}\\ \text{lb}\approx -1650{,}884\\ \text{lb} (C)

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