Determine a força em cada elemento da treliça e indique se esses elementos estão sob tração ou compressão. Considere que P1=500 lb e
. (Hibbeler
, pag 231).
Passo 1
O enunciado pede: determinar a força em cada elemento da treliça e indicar se cada elemento está sob tração (T) ou compressão (C).
Informações dadas (extraídas da figura):
- Forças concentradas verticais:
atuando em (para baixo) e atuando em (para baixo). - Apoios: apoio em
é articulado (pino) e em é rolete (apenas reação vertical). - Geometria (peguei estes comprimentos da figura):
- Pontos na linha de base:
com espaçamento . - Pontos no topo:
sobre (verticalmente acima de ), sobre (verticalmente acima de ). - Altura do topo:
.
- Pontos na linha de base:
- Membros: temos a barra inferior
, as verticais , o topo , e os diagonais (conforme a figura). - Objetivo: calcular a força em cada membro:
e dizer T ou C.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular as reações nos apoios (estática global). Vou chamar as reações verticais
em
(vertical) e
em
. Não há forças horizontais externas, portanto a reação horizontal em
é zero.
Equilíbrio vertical (soma das forças verticais = 0):
Equilíbrio de momentos em relação a
(soma dos momentos = 0) para eliminar
. Tomando momento positivo no sentido anti-horário:
pois
está a
de
,
a
e
a
.
Resolvo para
:
Agora
:
Numericamente:
Breve explicação didática: escolhi momento em
porque assim elimino a reação
e encontro
diretamente. Em problemas de treliça sempre começar pelas reações de apoio.
Passo 3
Método de resolução da treliça: vou usar o método dos nós (method of joints). Ideia-chave:
- Cada nó (junção) é um ponto onde a soma das forças horizontais e verticais é zero.
- Para cada membro ligado ao nó, decomponho sua força em componentes horizontal e vertical.
- Adoto a convenção: força positiva significa tração (o membro puxa o nó em direção ao membro). Se a solução vier negativa, o membro está em compressão.
Observação prática sobre geometria:
- As barras diagonais entre pontos separados por
horizontal e vertical têm inclinação . Logo para um membro inclinado a : - componente horizontal =
, - componente vertical =
.
- componente horizontal =
Vou começar pelos nós que têm poucos membros desconhecidos:
(apenas
e
além da reação) e
(apenas
), depois
(apenas
mais a reação), e assim por diante — esse é um caminho comum porque evita sistemas com muitas incógnitas simultâneas.
Passo 4
Equilíbrio no nó
(coordenadas
). Membros conectados:
(horizontal para a direita) e
(diagonal para cima-direita). Reação vertical
atua para cima.
Equações de equilíbrio no nó
:
- Soma das forças horizontais (
): - Soma das forças verticais (
):
Da equação vertical:
Substituo
:
O sinal negativo indica que, ao contrário da hipótese (tração),
está em compressão. Magnitude
(compressão).
Agora a equação horizontal dá
:
Sinal positivo indica tração em
.
Didática rápida: note que a componente vertical do
equilibra exatamente a reação
. Por isso os números ficam simples em frações.
Passo 5
Equilíbrio no nó
(coordenada
). Ligações:
(já conhecida),
(horizontal à direita),
(vertical para cima). Força externa
para baixo.
Equações:
- Soma das forças horizontais:
(sinal: puxa B para a esquerda se em tração). - Soma das forças verticais:
Substituindo
:
E
Comentário didático: nó com duas incógnitas (aqui uma já conhecida) resulta em equações diretas; a vertical do
simplesmente equilíbrio do carregamento
.
Passo 6
Equilíbrio no nó
(coordenada
). Ligações:
(horizontal para a esquerda),
(diagonal que sobe e vai para a esquerda), e a reação
para cima conhecida.
Assumo tensões positivas (tração) nas barras; escreverei as equações de equilíbrio com os sinais coerentes (e os sinais finais indicarão T/C).
Soma das forças horizontais (escolho positivo para a direita):
Soma das forças verticais (para cima positivo):
Da segunda equação:
Sinal negativo:
está em compressão. Magnitude
.
Da primeira equação:
Sinal positivo indica tração em
.
Didática: quando a reação vertical em D é conhecida, a componente vertical do diagonal
tem que equilibrar essa reação, daí resultado direto.
Passo 7
Equilíbrio no nó
(coordenada
). Ligações:
(conhecido),
(conhecido),
(vertical),
(diagonal). Força externa
para baixo.
Equações:
- Soma horizontal (direita positiva):
- Soma vertical (para cima positivo):
Substituo
e
. Então da equação horizontal:
Logo
Sinal positivo:
em tração.
Agora a equação vertical:
Sinal positivo indica tração em
.
Comentário: observe que
apareceu naturalmente por diferença das forças horizontais no nó
.
Passo 8
Verificação e equilíbrio no nó
(coord.
) para encontrar
(se ainda faltasse) e checar consistência. Ligações:
,
,
,
.
Equilíbrio das componentes horizontal e vertical:
Componentes horizontais (direita positiva):
Aqui uso
para a mesma grandeza de
(mesma barra), e anteriormente obtivemos
. No nosso sistema de sinais
(mesmo número). Substituindo números:
Usando os valores:
Logo
Numérico:
Sinal negativo indica compressão em
. (A conta mostra também que a soma das componentes verticais se fecha corretamente.)
Breve checagem vertical (deve dar zero): usando componentes verticais de
e sabendo
não tem componente vertical, confirma equilíbrio.
Passo 9
Resumo dos resultados (interpretação: positivo = tração, negativo = compressão). Vou apresentar cada membro com valor (e indicação T/C) em forma clara.
Anotações exatas (formas fracionárias convenientes) e aproximações decimais:
-
— tração (T). -
— tração (T). -
— tração (T). -
— tração (T). -
— tração (T). -
— compressão (C). -
— tração (T). -
— compressão (C). -
— compressão (C).
Didática final: perceba o padrão — as verticais suportam diretamente os carregamentos verticais; as barras inferiores transmitem esforços horizontais; os membros inclinados transmitem tanto horizontais quanto verticais. Usar nós com poucos incógnitos facilita muito. Se precisar, dá pra desenhar vetores em cada nó para “ver” se o membro puxa ou empurra.