Obtenha o limite.
\lim _{t \rightarrow 2}\left(t \mathbf{i}-3 \mathbf{j}+t^{2} \mathbf{k}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando t tende a 2 da função vetorial
\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}-3\,\mathbf{j}+t^{2}\,\mathbf{k}.
As perguntas implícitas são: qual é o valor de \lim_{t\to2}\mathbf{r}(t) e quais informações do enunciado podemos usar (quais são as componentes do vetor). Informações dadas:
  • componente em \mathbf{i}: t;
  • componente em \mathbf{j}: -3 (constante);
  • componente em \mathbf{k}: t^{2}.

Passo 2

Conceito importante (explicado de modo simples): o limite de uma função vetorial é feito componente a componente. Ou seja, se
\mathbf{r}(t) = \big(r_{1}(t),\,r_{2}(t),\,r_{3}(t)\big),
então
\lim_{t\to a}\mathbf{r}(t) = \big(\lim_{t\to a}r_{1}(t),\,\lim_{t\to a}r_{2}(t),\,\lim_{t\to a}r_{3}(t)\big),
desde que cada limite componente exista. Intuição simples: um vetor tende a outro quando todas as suas componentes tendem aos respectivos valores — dá para pensar nas coordenadas separadamente.

Passo 3

Aplicando a ideia componente a componente ao nosso caso:
  • Para a componente em \mathbf{i} temos a função r_{1}(t)=t. Polinômios são contínuos, portanto
\lim_{t\to2} t = 2.
Explicação curta: como t é contínua em 2, basta substituir t=2.

Passo 4

  • Para a componente em \mathbf{j} temos a constante r_{2}(t)=-3. O limite de uma constante é a própria constante, logo
\lim_{t\to2} (-3) = -3.

Passo 5

  • Para a componente em \mathbf{k} temos r_{3}(t)=t^{2}. Novamente polinômios são contínuos, então
\lim_{t\to2} t^{2} = 2^{2} = 4.

Passo 6

Juntando os limites das três componentes (pela propriedade componente a componente) obtemos
\lim_{t\to2}\mathbf{r}(t)=2\,\mathbf{i}-3\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k}.

Resposta

2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+4\mathbf{k}

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