Determine a força elétrica exercida por um bastão carregado com densidade linear de carga lambda sobre uma carga pontual positiva q, posicionada perpendicularmente ao eixo do bastão a uma distância y do seu centro. Considere o bastão como um fio fino de comprimento L e a carga q localizada no plano perpendicular ao bastão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a força elétrica que um bastão carregado com densidade linear de carga lambda exerce sobre uma carga pontual positiva q. A carga q está posicionada perpendicularmente ao centro do bastão, a uma distância y. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Campo Elétrico e Lei de Coulomb. Precisamos entender como integrar o efeito de cada pedacinho do bastão na força total sobre q.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o bastão como sendo dividido em pequenos pedaços de comprimento diferencial dx. Cada um desses pedaços tem uma carga dq = lambda , dx, já que lambda é a densidade linear de carga.

Passo 3

Agora, para cada pedacinho de carga dq, a força elétrica que ele exerce sobre a carga q pode ser encontrada usando a Lei de Coulomb:
dF = k , q , dqr^2
Aqui, k é a constante eletrostática ( k approx 8,99 times 10^9 , N·m²/C²²²) e r é a distância entre dq e q. Como q está a uma distância y perpendicular ao centro do bastão e o bastão tem comprimento total L, precisamos expressar r em termos de x.

Passo 4

Escolhemos o centro do bastão como a origem. Assim, qualquer ponto no bastão pode ser representado por uma coordenada x que vai de -L/2 a L/2. A distância r de um ponto x no bastão até a carga q é dada por:
r = raizx^2 + y^2

Passo 5

A força dF tem uma direção radial, mas como as componentes horizontal de forças simétricas se cancelam, restará apenas a componente vertical. A componente vertical da força é:
dFy = dF cdot yr = k , q , lambda , dx(x^2 + y^2) cdot yraizx^2 + y^2 = k , q , lambda , y , dx(x^2 + y^2)^3/2

Passo 6

Para encontrar a força total F, integramos dFy de x = -L/2 até x = L/2:
F = integral-L/2^L/2 k , q , lambda , y(x^2 + y^2)^3/2 , dx

Passo 7

Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou tabelas de integrais. O resultado da integral é:
F = 2 k q lambday ( L/2raiz(L/2)^2 + y^2 )

Resposta

A força elétrica exercida pelo bastão na carga q é:
F = 2 k q lambday cdot L/2raiz(L/2)^2 + y^2 = k q lambda Ly raiz(L/2)^2 + y^2

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