Determine a força elétrica exercida por um bastão carregado com densidade linear de carga
sobre uma carga pontual positiva
, posicionada perpendicularmente ao eixo do bastão a uma distância
do seu centro. Considere o bastão como um fio fino de comprimento L e a carga q localizada no plano perpendicular ao bastão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a força elétrica que um bastão carregado com densidade linear de carga
exerce sobre uma carga pontual positiva
. A carga
está posicionada perpendicularmente ao centro do bastão, a uma distância
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Campo Elétrico e Lei de Coulomb. Precisamos entender como integrar o efeito de cada pedacinho do bastão na força total sobre
.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o bastão como sendo dividido em pequenos pedaços de comprimento diferencial
. Cada um desses pedaços tem uma carga
, já que
é a densidade linear de carga.
Passo 3
Agora, para cada pedacinho de carga
, a força elétrica que ele exerce sobre a carga
pode ser encontrada usando a Lei de Coulomb:
Aqui,
é a constante eletrostática (
) e
é a distância entre
e
. Como
está a uma distância
perpendicular ao centro do bastão e o bastão tem comprimento total
, precisamos expressar
em termos de
.
Passo 4
Escolhemos o centro do bastão como a origem. Assim, qualquer ponto no bastão pode ser representado por uma coordenada
que vai de
a
. A distância
de um ponto
no bastão até a carga
é dada por:
Passo 5
A força
tem uma direção radial, mas como as componentes horizontal de forças simétricas se cancelam, restará apenas a componente vertical. A componente vertical da força é:
Passo 6
Para encontrar a força total
, integramos
de
até
:
Passo 7
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou tabelas de integrais. O resultado da integral é:
Resposta
A força elétrica exercida pelo bastão na carga
é: