Duas esferas metálicas contendo as cargas Q e 2Q estão separadas pela distância de 1,0 \mathrm{~m}. Podemos dizer que, a meia distância entre as esferas, o campo elétrico gerado por:
a) ambas as esferas é igual.
b) uma esfera é 1 / 2 do campo gerado pela outra esfera.
c) uma esfera é 1 / 3 do campo gerado pela outra esfera.
d) uma esfera é 1 / 4 do campo gerado pela outra esfera.
e) ambas as esferas é igual a zero.

Passo 1

O enunciado dá duas esferas metálicas com cargas Q e 2Q separadas pela distância de 1,0\\ \mathrm{m}. Pede para analisar, na meia distância entre as esferas, qual das alternativas sobre os módulos dos campos elétricos gerados é correta:
a) ambas as esferas geram campos iguais.
b) o campo de uma esfera é 1/2 do campo gerado pela outra.
c) o campo de uma esfera é 1/3 do campo gerado pela outra.
d) o campo de uma esfera é 1/4 do campo gerado pela outra.
e) ambos os campos são iguais a zero.
Informações relevantes dadas: as cargas são Q e 2Q, a distância entre centros é 1,0\\ \mathrm{m}, e o ponto onde queremos comparar os campos é a meia distância entre as esferas (ou seja, o ponto exatamente no meio).

Passo 2

Conceito que precisamos usar (explicado de forma bem prática): o campo elétrico criado por uma carga pontual tem módulo dado pela lei de Coulomb para campo elétrico:
E = k\,\frac{|q|}{r^{2}}.
Aqui:
  • E é o módulo do campo elétrico (em \mathrm{N/C}),
  • k é a constante eletrostática (aproximadamente k=8{,}99\times 10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}),
  • q é a carga que gera o campo (em coulombs),
  • r é a distância entre a carga e o ponto onde avaliamos o campo (em metros).
    Explicando em miúdos: o campo fica proporcional à carga e decai com o quadrado da distância. Se duas cargas estão à mesma distância do ponto, o que vai diferenciar os módulos dos campos é apenas o valor da carga.

Passo 3

Aplicabilidade ao problema: esferas metálicas carregadas, quando avaliamos o campo em pontos fora e razoavelmente distantes da esfera, comportam-se como cargas pontuais concentradas no seu centro. Aqui o ponto está exatamente entre as duas esferas; como o enunciado só dá a separação 1,0\\ \mathrm{m} e pede a comparação na meia distância, é correto tratar cada esfera como carga pontual situada no seu centro para calcular o módulo do campo no ponto médio.

Passo 4

Determine a distância do ponto médio a cada esfera: sendo a separação total \,1{,}0\\ \mathrm{m}\,, a meia distância é
r=\frac{1{,}0}{2}=0{,}5\\ \mathrm{m}.
Logo o ponto médio está à mesma distância r=0{,}5\\ \mathrm{m} de cada carga.

Passo 5

Calcule simbolicamente os módulos dos campos vindos de cada esfera no ponto médio usando a fórmula do Passo 2.
Campo devido à carga Q:
E_{Q}=k\,\frac{|Q|}{(0{,}5)^{2}}.
Campo devido à carga 2Q:
E_{2Q}=k\,\frac{|2Q|}{(0{,}5)^{2}}.

Passo 6

Simplifique as expressões numéricas do denominador. Temos (0{,}5)^{2}=0{,}25. Substituindo:
E_{Q}=k\,\frac{|Q|}{0{,}25}=4k\,|Q|,
E_{2Q}=k\,\frac{|2Q|}{0{,}25}=8k\,|Q|.
Expliquei: dividir por 0{,}25 é multiplicar por 4, por isso k|Q|/0{,}25 = 4k|Q|. E para 2Q fica o dobro: 8k|Q|.

Passo 7

Compare os módulos dos campos calculados: a razão entre E_{Q} e E_{2Q} é
\frac{E_{Q}}{E_{2Q}}=\frac{4k|Q|}{8k|Q|}=\frac{1}{2}.
Ou seja, o campo gerado pela esfera com carga Q tem módulo igual a metade do campo gerado pela esfera com carga 2Q. Equivalentemente, o campo da esfera 2Q é duas vezes o da esfera Q.

Passo 8

Comentário rápido sobre direções (útil para a prova, mas não pedido na alternativa): se as cargas têm o mesmo sinal, os vetores campo no ponto médio apontam em sentidos opostos e o campo resultante será a diferença dos módulos; se têm sinais opostos, apontam no mesmo sentido e o resultado será a soma. Isso não altera a comparação dos módulos que fizemos acima.

Resposta

b) uma esfera é 1/2 do campo gerado pela outra esfera.

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