I. Find the derivative of y=\left(x^{2}+1\right)\left(x^{3}+1\right) in two ways: by using the Product Rule and by performing the multiplication first. Do your answers agree?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y = (x^{2} + 1)\,(x^{3} + 1)
de duas maneiras: usando a Regra do Produto e fazendo a multiplicação antes de derivar. O conteúdo envolve diferenciar um produto de funções e também derivadas termo a termo.

Passo 2

Aplicando a Regra do Produto, definimos
u(x) = x^{2} + 1, \quad v(x) = x^{3} + 1.
Então
u'(x) = 2x, \quad v'(x) = 3x^{2}.
Pela Regra do Produto,
y' = u'\,v + u\,v' = (2x)(x^{3}+1) + (x^{2}+1)(3x^{2}).
Agora distribuímos cada termo:
(2x)(x^{3}+1) = 2x^{4} + 2x, \quad (x^{2}+1)(3x^{2}) = 3x^{4} + 3x^{2}.
Somando,
y' = 2x^{4} + 2x + 3x^{4} + 3x^{2} = 5x^{4} + 3x^{2} + 2x.

Passo 3

Agora expandimos y primeiro e depois derivamos termo a termo.
Multiplicando:
y = (x^{2}+1)(x^{3}+1) = x^{5} + x^{2} + x^{3} + 1 = x^{5} + x^{3} + x^{2} + 1.
Derivando cada monômio:
\frac{d}{dx}(x^{5}) = 5x^{4}, \quad \frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2}, \quad \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x, \quad \frac{d}{dx}(1) = 0.
Somando os resultados,
y' = 5x^{4} + 3x^{2} + 2x.

Passo 4

Comparando ambas as abordagens, em ambos obtemos
y' = 5x^{4} + 3x^{2} + 2x.
Logo, as respostas concordam.

Resposta

As duas formas levam ao mesmo resultado:
y' = 5x^{4} + 3x^{2} + 2x.

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