QUESTÃO 3. Calcule a integral \int_{0}^{2} 4 \mathrm{x}^{3} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{x}^{4}} \cdot \mathrm{dx}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{2}4x^{3}e^{x^{4}}\,dx
e o conteúdo principal é a técnica de substituição para simplificar o expoente.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = x^{4}.
Derivando, vem
du = 4x^{3}\,dx,
ou seja, 4x^{3}\,dx = du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int_{0}^{2}4x^{3}e^{x^{4}}\,dx = \int_{u(0)}^{u(2)}e^{u}\,du
com u(0)=0 e u(2)=16.

Passo 4

A integral de e^{u} é e^{u}, logo
\int_{0}^{16}e^{u}\,du = \bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{16} = e^{16}-e^{0} = e^{16}-1.

Resposta

e^{16}-1

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