QUESTÃO 6. Calcule a integral \int_{0}^{2} x^{2} \cdot\left(x^{2}+2\right)^{4} \cdot d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{2} x^{2}\bigl(x^{2}+2\bigr)^{4}\,dx.
O conteúdo aqui é integração de polinômio composto. A estratégia escolhida é expandir \bigl(x^{2}+2\bigr)^{4} pela fórmula do binômio e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Use o Teorema do Binômio para expandir
\bigl(x^{2}+2\bigr)^{4} =\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}(x^{2})^{k}(2)^{4-k} =x^{8}+8x^{6}+24x^{4}+32x^{2}+16.
Multiplicando por x^{2} temos
x^{2}\bigl(x^{2}+2\bigr)^{4} =x^{10}+8x^{8}+24x^{6}+32x^{4}+16x^{2}.

Passo 3

Integramos termo a termo para obter a primitiva:
\int x^{10}+8x^{8}+24x^{6}+32x^{4}+16x^{2}\,dx =\frac{x^{11}}{11} +8\frac{x^{9}}{9} +24\frac{x^{7}}{7} +32\frac{x^{5}}{5} +16\frac{x^{3}}{3} +C.

Passo 4

Avalie essa primitiva entre 0 e 2:
\left[\frac{x^{11}}{11} +8\frac{x^{9}}{9} +24\frac{x^{7}}{7} +32\frac{x^{5}}{5} +16\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}.
Em x=2 cada termo vale
\frac{2^{11}}{11}=\frac{2048}{11},\quad 8\frac{2^{9}}{9}=\frac{4096}{9},\quad 24\frac{2^{7}}{7}=\frac{3072}{7},
32\frac{2^{5}}{5}=\frac{1024}{5},\quad 16\frac{2^{3}}{3}=\frac{128}{3}.
Em x=0 todos são zero.

Passo 5

Somando os cinco termos obtemos
\int_{0}^{2}x^{2}(x^{2}+2)^{4}\,dx =\frac{2048}{11}+\frac{4096}{9}+\frac{3072}{7}+\frac{1024}{5}+\frac{128}{3}.
Como fração única, isto é
\frac{4600192}{3465}.

Resposta

\int_{0}^{2}x^{2}(x^{2}+2)^{4}\,dx =\frac{2048}{11}+\frac{4096}{9}+\frac{3072}{7}+\frac{1024}{5}+\frac{128}{3} =\frac{4600192}{3465}.

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