Determine a forma apropriada da solução particular yp para se utilizar o método dos coeficientes a determinar. Não calcule as constantes.
y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=x^{3}+2 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a forma de uma solução particular y_p para a EDO
y^{\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime}+y^{\prime}=x^{3}+2e^{x}
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos identificar o polinômio característico da parte homogênea e as raízes para ver se há coincidência com os termos forçantes.

Passo 2

O polinômio característico é
r^{3}-2r^{2}+r = r\,(r-1)^{2}
logo as raízes são r=0 (multiplicidade 1) e r=1 (multiplicidade 2). Assim, as soluções da homogênea são constantes ( e^{0x}) e e^{x},\,x\,e^{x}.

Passo 3

Para o termo polinomial x^{3} usamos um polinômio geral de grau 3, digamos
A x^{3}+B x^{2}+C x+D,
mas como r=0 é raiz de multiplicidade 1 (logo há coincidência com e^{0x}=1), multiplicamos esse polinômio por x^{1}. Assim a parte polinomial de y_{p} fica
y_{p1} = x\,(A x^{3}+B x^{2}+C x+D).

Passo 4

Para o termo exponencial 2e^{x} usamos P(x)e^{x} com P(x) polinômio de grau 0 (constante), digamos E. Como r=1 é raiz de multiplicidade 2, multiplicamos por x^{2}. Logo a parte exponencial de y_{p} é
y_{p2} = E\,x^{2}e^{x}.

Passo 5

Somando as duas partes obtemos a forma geral da solução particular sem determinar as constantes:
y_{p} = x\,(A x^{3}+B x^{2}+C x+D) \;+\; E\,x^{2}e^{x}.

Resposta

y_{p} = A x^{4} + B x^{3} + C x^{2} + D x + E\,x^{2}e^{x},
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar.

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