Em que intervalo(s) a funçăo f(x)=x-\frac{9}{3-x} é crescente?
a. (-\infty, 3) \cup(3,+\infty)
b. (-\infty, 0) \cup(6,+\infty)
c. A função năo é crescente em nenhum intervalo
d. (0,3) \cup(3,6)
e. (0,6)

Passo 1

O enunciado pede em que intervalo(s) a função
f(x)=x - \frac{9}{3 - x}
é crescente. O conteúdo aqui é monotonicidade de funções obtida pelo sinal da derivada. Para resolver, precisamos (1) calcular f'(x) e (2) achar onde f'(x)>0, lembrando que o domínio exige x\neq3.

Passo 2

Calculemos a derivada. Escrevendo
f(x)=x - 9\,(3-x)^{-1},
temos
\frac{d}{dx}\bigl[x\bigr]=1 \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\bigl[(3-x)^{-1}\bigr] =-1\,(3-x)^{-2}\times(-1) =\frac{1}{(3-x)^{2}}.
Logo,
f'(x) =1 - 9\cdot\frac{1}{(3-x)^{2}} =1 - \frac{9}{(3-x)^{2}}.

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade
f'(x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 - \frac{9}{(3-x)^{2}}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{9}{(3-x)^{2}}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad (3-x)^{2}>9.
Daí vem
|3-x|>3 \quad\Longleftrightarrow\quad 3-x>3\\ \lor\\\ 3-x<-3 \quad\Longleftrightarrow\quad x<0\\ \lor\\ x>6.
Como x=3 não pertence ao domínio, isso não afeta as soluções.

Passo 4

Portanto, f'(x)>0 exatamente para
x\in(-\infty,0)\quad\cup\quad(6,\infty),
e nesses intervalos a função é crescente.

Resposta

b. (- \infty,0)\cup(6,\infty)

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