Em que intervalo(s) a funçăo f(x)=x-\frac{1}{1-x} é decrescente?
a. (0,1) \cup(1,2)
b. (-\infty, 1) \cup(1,+\infty)
c. (-\infty, 0) \cup(2,+\infty)
d. A função não é decrescente em nenhum intervalo
e. (0,2)

Passo 1

O enunciado pede os intervalos em que a função
f(x)=x-\frac{1}{1-x}
é decrescente. Vamos calcular a derivada f'(x) e estudar onde ela é negativa, pois aí f diminui.

Passo 2

Primeiro note que a função não está definida em x=1, logo o domínio é
(-\infty,1)\;\cup\;(1,\infty).

Passo 3

Calculemos a derivada. Seja
g(x)=\frac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}.
Então
g'(x)=(-1)\,(1-x)^{-2)\,(-1)=\frac{1}{(1-x)^2}
e, por isso,
f'(x)=1-g'(x)=1-\frac{1}{(1-x)^2}.

Passo 4

Queremos f'(x)<0, ou seja
1-\frac{1}{(1-x)^2}<0 \quad\Longrightarrow\quad 1<\frac{1}{(1-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad (1-x)^2<1.
Da desigualdade (1-x)^2<1 segue \lvert1-x\rvert<1, isto é
-1<1-x<1 \quad\Longrightarrow\quad 0<x<2.

Passo 5

Intersectando (0,2) com o domínio (-\infty,1)\cup(1,\infty) obtemos os intervalos
(0,1)\quad\text{e}\quad(1,2),
onde f'(x)<0 e, portanto, f é decrescente.

Resposta

a. (0,1)\cup(1,2)

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