Determine a forma geral da solução das seguintes equações lineares.
2 x1+3 x2+4 x3=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação linear juntos! A gente tem a equação 2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 5. O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre equações lineares com várias incógnitas. Para resolver isso, precisamos entender como expressar as variáveis em termos de outras, encontrando assim a forma geral da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher quais variáveis vamos deixar como “livres”, ou seja, serão os parâmetros que vamos definir livremente. Geralmente, quando temos mais variáveis do que equações, deixamos algumas variáveis como livres. Aqui temos três variáveis ( x1, x2, x3) e uma equação, então podemos deixar duas delas como livres. Vamos escolher x2 e x3 para serem nossos parâmetros.

Passo 3

Agora, vamos isolar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver a equação para x1. Temos:
2 x1 + 3 x2 + 4 x3 = 5
Subtraindo 3 x2 + 4 x3 de ambos os lados:
2 x1 = 5 - 3 x2 - 4 x3

Passo 4

Em seguida, dividimos ambos os lados por 2 para resolver para x1:
x1 = 5 - 3 x2 - 4 x32
Isso nos dá x1 em termos de x2 e x3.

Passo 5

Agora, como escolhemos x2 e x3 como variáveis livres, podemos atribuir a elas qualquer valor real. Para facilitar, vamos chamar x2 = s e x3 = t, onde s e t são parâmetros que podem ser qualquer número real.
Portanto,
x2 = s
x3 = t

Passo 6

Substituindo s e t na expressão para x1, temos:
x1 = 5 - 3s - 4t2

Passo 7

Agora, podemos escrever todas as soluções em termos desses parâmetros:
x1 = 52 - 32s - 2t
x2 = s
x3 = t

Resposta

A forma geral da solução é:
x1 = dfrac52 - dfrac32 s - 2 t x2 = s x3 = t
Onde s e t são números reais quaisquer.

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