Determine a forma geral da solução das seguintes equações lineares. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação linear juntos! A gente tem a equação . O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre equações lineares com várias incógnitas. Para resolver isso, precisamos entender como expressar as variáveis em termos de outras, encontrando assim a forma geral da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher quais variáveis vamos deixar como “livres”, ou seja, serão os parâmetros que vamos definir livremente. Geralmente, quando temos mais variáveis do que equações, deixamos algumas variáveis como livres. Aqui temos três variáveis (, , ) e uma equação, então podemos deixar duas delas como livres. Vamos escolher e para serem nossos parâmetros.
Passo 3
Agora, vamos isolar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver a equação para . Temos:
Subtraindo de ambos os lados:
Passo 4
Em seguida, dividimos ambos os lados por 2 para resolver para :
Isso nos dá em termos de e .
Passo 5
Agora, como escolhemos e como variáveis livres, podemos atribuir a elas qualquer valor real. Para facilitar, vamos chamar e , onde e são parâmetros que podem ser qualquer número real.
Portanto,
Passo 6
Substituindo e na expressão para , temos:
Passo 7
Agora, podemos escrever todas as soluções em termos desses parâmetros: